A B. 4192. feladat (2009. szeptember)

B. 4192. Egy papírlapra felírtuk a számokat 1-től 2009-ig. A második lépésben mindegyik szám kétszeresét is felírtuk a papírra, majd kiradíroztuk azokat a számokat, amelyek kétszer is szerepeltek. Ezt a lépést ismételgetjük olyan módon, hogy az i-edik lépésben az számok mindegyikének i-szeresét is felírjuk a papírra, majd kiradírozzuk azokat a számokat, amelyek kétszer is szerepelnek. Hány szám lesz a papírlapon a 2009. lépés után?

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az eljárást úgy is elvégezhetjük, hogy először minden \(\displaystyle 1\le i\le 2009\) és \(\displaystyle 1\le k\le 2009\) esetén az \(\displaystyle ik\) számot felírjuk a papírlapra, majd tetszés szerint kiradírozunk két azonos számot, és ezt a lépést addig ismételgetjük, amíg csak lehet. Ha \(\displaystyle 1\le i<k\le 2009\) esetén az \(\displaystyle ik\) számot felírtuk a papírlapra, akkor ugyanezt a számot \(\displaystyle ki\) alakban is felírtuk. A kiradírozást végezzük el olyan sorrendben, hogy minden egyes lépésben egy így létrejött párt radírozunk ki. Világos, hogy az eljárás végén azok az \(\displaystyle ik\) alakú számok maradnak meg, amelyekre \(\displaystyle 1\le i=k\le 2009\). Vagyis pontosan 2009 szám marad a papíron, nevezetesen az első 2009 négyzetszám.

Statisztika:

136 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	63 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai