Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4193. (September 2009)

B. 4193. Out of a set of one million lottery tickets issued with numbers 000000 to 999999, a group of friends bought all tickets that they considered ``lucky'', that is the ones with numbers \overline{abcdef}, such that af+be+cd=100. Prove that the sum of the numbers of the remaining tickets is divisible by 1001.

(4 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A sorsjegyek sorszámainak összege,

\(\displaystyle \frac{999999\cdot1000000}{2}=999\cdot1001\cdot500000\)

osztható 1001-gyel, tehát elég azt megmutatni, hogy a szerencsés sorsjegyek sorszámainak összege osztható 1001-gyel. Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle \overline{abcdef}\) sorszámú sorsjegy pontosan akkor szerencsés, ha a \(\displaystyle \overline{defabc}\) sorszámú sorsjegy szerencsés. A szerencsés sorsjegyek nagy részét tehát párokba állíthatjuk, és egy ilyen párban a sorszámok összege,

\(\displaystyle \overline{abcdef}+\overline{defabc}=1001(f+c)+10010(b+e)+100100(a+d)\)

osztható 1001-gyel. Az állítás így már azonnal adódik abból, hogy a párosításból kimaradt szerencsés sorsjegyek \(\displaystyle \overline{abcabc}\) alakú sorszáma is osztható 1001-gyel.


Statistics:

71 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Balla Attila, Barczel Nikolett, Beke Lilla, Botos Csongor, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Győrfi 946 Mónika, Jaksa Péter, Kaposvári István, Karkus Zsuzsa, Karl Erik Holter, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 915 István, Major Péter, Márkus Bence, Mészáros András, Morapitiye Sunil, Nagy Róbert, Neukirchner Elisabeth, Popper Dávid, Remete László, Repka 666 Dániel, Sápi András, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 124 Zsolt, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Varga Vajk, Végső Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zsakó András.
3 points:Dobosy Kristóf, Dudás 002 Zsolt, Janzer Olivér, Köpenczei Gergő, Németh 727 László, Raschek Bence, Varnyú József.
2 points:10 students.
1 point:4 students.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009