A B. 4193. feladat (2009. szeptember)

B. 4193. Egymillió darab kiadott sorsjegyből, melyek sorszáma 000000-tól 999999-ig változik, egy baráti társaság megvásárolta az összes olyan -- általuk szerencsésnek mondott -- sorsjegyet, amelyek sorszámára teljesül, hogy

af+be+cd=100.

Bizonyítsuk be, hogy a megmaradt sorsjegyek sorszámainak összege osztható 1001-gyel.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A sorsjegyek sorszámainak összege,

\(\displaystyle \frac{999999\cdot1000000}{2}=999\cdot1001\cdot500000\)

osztható 1001-gyel, tehát elég azt megmutatni, hogy a szerencsés sorsjegyek sorszámainak összege osztható 1001-gyel. Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle \overline{abcdef}\) sorszámú sorsjegy pontosan akkor szerencsés, ha a \(\displaystyle \overline{defabc}\) sorszámú sorsjegy szerencsés. A szerencsés sorsjegyek nagy részét tehát párokba állíthatjuk, és egy ilyen párban a sorszámok összege,

\(\displaystyle \overline{abcdef}+\overline{defabc}=1001(f+c)+10010(b+e)+100100(a+d)\)

osztható 1001-gyel. Az állítás így már azonnal adódik abból, hogy a párosításból kimaradt szerencsés sorsjegyek \(\displaystyle \overline{abcabc}\) alakú sorszáma is osztható 1001-gyel.

Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Balla Attila, Barczel Nikolett, Beke Lilla, Botos Csongor, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Győrfi 946 Mónika, Jaksa Péter, Kaposvári István, Karkus Zsuzsa, Karl Erik Holter, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 915 István, Major Péter, Márkus Bence, Mészáros András, Morapitiye Sunil, Nagy Róbert, Neukirchner Elisabeth, Popper Dávid, Remete László, Repka 666 Dániel, Sápi András, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 124 Zsolt, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Varga Vajk, Végső Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zsakó András.
3 pontot kapott:	Dobosy Kristóf, Dudás 002 Zsolt, Janzer Olivér, Köpenczei Gergő, Németh 727 László, Raschek Bence, Varnyú József.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai