Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4194. (September 2009)

B. 4194. The angle at vertex C of a triangle is a right angle. The angle bisector and altitude drawn from C intersect the circumscribed circle at D and E, respectively. The not shorter leg of the triangle is b. Show that the length of the broken line CDE is .

(4 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a körülírt kör átmérője egységnyi, a $\displaystyle b$ befogó melleti szög pedig $\displaystyle \alpha\le 45^\circ$. Mivel az átfogó éppen a kör átmérője, $\displaystyle b=\cos\alpha$.

Az ábra jelöléseit használva, a $\displaystyle BCD$ és a $\displaystyle BAD$ szög egyaránt $\displaystyle 45^\circ$-os, vagyis a $\displaystyle CD$ húr az $\displaystyle A$ pontból $\displaystyle 45^\circ+\alpha$, az $\displaystyle ED$ húr pedig a $\displaystyle C$ pontból $\displaystyle 45^\circ-\alpha$ szög alatt látszik. Ezért valóban

$\displaystyle CD+DE=\sin(45^\circ+\alpha)+\sin(45^\circ-\alpha)=2\sin45^\circ\cos\alpha= \sqrt{2}\cos\alpha=b\sqrt{2}.$

### Statistics:

 138 students sent a solution. 4 points: 127 students. 3 points: 7 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009