KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4195. The length of the altitudes of a triangle are 10, 12 and 15. How long are the sides?

Suggested by J. Pataki, Budapest

(3 points)

Deadline expired on 12 October 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel a háromszög oldalai úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő magasságok reciprokai, az oldalak aránya 6:5:4. Legyen tehát az oldalak hossza \(\displaystyle 6x\), \(\displaystyle 5x\) és \(\displaystyle 4x\), ahol ezekhez rendre a 10, 12 és 15 hosszú magasságok tartoznak. A Héron-képlet alapján a háromszög \(\displaystyle T\) területére

\(\displaystyle 4T=\sqrt{(6x+5x+4x)(6x+5x-4x)(6x+4x-5x)(5x+4x-6x)}=15\sqrt{7}x^2.\)

Másrészt \(\displaystyle 2T=6x\cdot 10\), ahonnan \(\displaystyle x\)-re a \(\displaystyle 15\sqrt{7}x^2=120x\) egyenletet kapjuk. Innen \(\displaystyle x=8/\sqrt{7}\), a háromszög oldalai pedig \(\displaystyle 48/\sqrt{7}\), \(\displaystyle 40/\sqrt{7}\) és \(\displaystyle 32/\sqrt{7}\).


Statistics on problem B. 4195.
192 students sent a solution.
3 points:140 students.
2 points:18 students.
1 point:10 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:11 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley