KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4196. Let n be a positive integer. What is the first digit after the decimal point in the number \sum_{k=1}^{n}
\frac{k(k+1)}{n}?

(3 points)

Deadline expired on 12 October 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az első \(\displaystyle n\) pozitív egész összegére, illetve az első \(\displaystyle n\) pozitív egész négyzetének összegére vonatkozó képlet alapján

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{n}}=\frac{1}{n}\left\{ \sum_{k=1}^n k^2 +\sum_{k=1}^n k\right\}=\frac{1}{n}\left\{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{n(n+1)}{2}\right\}=\)

\(\displaystyle =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n+1}{2}=\frac{(n+1)(2n+4)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)}{3}.\)

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, akkor ez a szám egész szám, tehát a tizedesvessző után 0 áll. Ha pedig \(\displaystyle n\) osztható 3-mal, akkor a számláló 3-mal osztva 2 maradékot ad, vagyis a szám \(\displaystyle 2/3\)-dal nagyobb, mint egész szám, tehát a tizedesvessző után 6-os számjegy áll.


Statistics on problem B. 4196.
168 students sent a solution.
3 points:133 students.
2 points:22 students.
1 point:10 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
    Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley