Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4196. (September 2009)

B. 4196. Let n be a positive integer. What is the first digit after the decimal point in the number \sum_{k=1}^{n}
\frac{k(k+1)}{n}?

(3 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első \(\displaystyle n\) pozitív egész összegére, illetve az első \(\displaystyle n\) pozitív egész négyzetének összegére vonatkozó képlet alapján

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{n}}=\frac{1}{n}\left\{ \sum_{k=1}^n k^2 +\sum_{k=1}^n k\right\}=\frac{1}{n}\left\{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{n(n+1)}{2}\right\}=\)

\(\displaystyle =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n+1}{2}=\frac{(n+1)(2n+4)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)}{3}.\)

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, akkor ez a szám egész szám, tehát a tizedesvessző után 0 áll. Ha pedig \(\displaystyle n\) osztható 3-mal, akkor a számláló 3-mal osztva 2 maradékot ad, vagyis a szám \(\displaystyle 2/3\)-dal nagyobb, mint egész szám, tehát a tizedesvessző után 6-os számjegy áll.


Statistics:

168 students sent a solution.
3 points:133 students.
2 points:22 students.
1 point:10 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009