Problem B. 4196.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4196. Let n be a positive integer. What is the first digit after the decimal point in the number $\sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{n}$ ?

(3 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Az első n pozitív egész összegére, illetve az első n pozitív egész négyzetének összegére vonatkozó képlet alapján

$\sum_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{n}}=\frac{1}{n}\left\{ \sum_{k=1}^n k^2 +\sum_{k=1}^n k\right\}=\frac{1}{n}\left\{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{n(n+1)}{2}\right\}=$

$=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n+1}{2}=\frac{(n+1)(2n+4)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)}{3}.$

Ha n 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, akkor ez a szám egész szám, tehát a tizedesvessző után 0 áll. Ha pedig n osztható 3-mal, akkor a számláló 3-mal osztva 2 maradékot ad, vagyis a szám 2/3-dal nagyobb, mint egész szám, tehát a tizedesvessző után 6-os számjegy áll.

Statistics on problem B. 4196.

168 students sent a solution.

3 points: 133 students.

2 points: 22 students.

1 point: 10 students.

0 point: 2 students.

Unfair, not evaluated: 1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009

Our web pages are supported by:

ELTE