KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4196. Let n be a positive integer. What is the first digit after the decimal point in the number \sum_{k=1}^{n}
\frac{k(k+1)}{n}?

(3 points)

Deadline expired on 12 October 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az első &tex;\displaystyle n&xet; pozitív egész összegére, illetve az első &tex;\displaystyle n&xet; pozitív egész négyzetének összegére vonatkozó képlet alapján

&tex;\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{n}}=\frac{1}{n}\left\{ \sum_{k=1}^n k^2 +\sum_{k=1}^n k\right\}=\frac{1}{n}\left\{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{n(n+1)}{2}\right\}=&xet;

&tex;\displaystyle =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n+1}{2}=\frac{(n+1)(2n+4)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)}{3}.&xet;

Ha &tex;\displaystyle n&xet; 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, akkor ez a szám egész szám, tehát a tizedesvessző után 0 áll. Ha pedig &tex;\displaystyle n&xet; osztható 3-mal, akkor a számláló 3-mal osztva 2 maradékot ad, vagyis a szám &tex;\displaystyle 2/3&xet;-dal nagyobb, mint egész szám, tehát a tizedesvessző után 6-os számjegy áll.


Statistics on problem B. 4196.
168 students sent a solution.
3 points:133 students.
2 points:22 students.
1 point:10 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program