B. 4200. For a finite point set A in the plane, let v(A) denote the number of triangles in a triangulation of set A, and let , where the sum of two points is defined as the point whose position vector is the sum of the position vectors of the terms. Prove that v(A+A)4v(A). (Suggested by I. Ruzsa, Budapest)

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Rögzítsük A egy tetszőleges háromszögelését. Megtartva az előző feladat jelöléseit, a -ban található háromszögek száma v(A)=2a+d-2, ahol d=b+c az A halmaz C határára eső pontjainak száma. E háromszögek oldalai közül pontosan d darab helyezkedik el C határán, a többi C belsejében fut. Az ilyen szakaszok száma (3v(A)-d)/2=3a+d-3, hiszen minden háromszögnek 3 oldala van, de a belül futó oldalszakaszokra két háromszög is illeszkedik.

Az A+A halmazt kicsinyítsük felére az origóból. Az így kapott A' halmazra nyilván v(A')=v(A+A). Az A' halmaz konvex burka szintén C lesz. Jelölje a' és d' az A' halmaz C belsejébe, illetve C határára eső pontjainak számát. Az A' halmaz pontjai éppen az xy (x=y esetén ponttá elfajuló) szakaszok felezőpontjai, ahol x,yA. Az A' halmaz C határára eső elemei között szerepelnek az A halmaz C határára eső elemei, melyek C határát d szakaszra osztják. Szerepelnek továbbá ezen szakaszok felezőpontjai is, melyek az előzőekkel együtt C határát már 2d szakaszra osztják. Innen látszik, hogy d'2d. Hasonlóképpen, az A' halmaz C belsejébe eső elemei között szerepelnek az A halmaz C belsejébe eső elemei, továbbá a -ban szereplő háromszögek C belsejében haladó oldalainak a felezőpontjai, melyek sem egymással, sem az előzőkkel nem esnek egybe. Ezért a'a+(3a+d-3)=4a+d-3. Mindent összevetve,

v(A+A)=v(A')=2a'+d'-22(4a+d-3)+2d-2=4(2a+d-2)=4v(A).

Statistics on problem B. 4200. 20 students sent a solution. 5 points: Ágoston Tamás, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston. 4 points: Keresztfalvi Tibor, Nagy Róbert. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.