 |
A B. 4200. feladat (2009. szeptember) |
B. 4200. Tetszőleges síkbeli \(\displaystyle A\) véges ponthalmazra jelölje \(\displaystyle v(A)\) az \(\displaystyle A\) halmaz egy háromszögelésében található háromszögek számát, és legyen
\(\displaystyle A+A=\{x+y\mid x,y\in A\}, \)
ahol két pont összege alatt azt a pontot értjük, amelynek helyvektora az összeadandók helyvektorának összege. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle v(A+A)\ge 4v(A). \)
Javasolta: Ruzsa Imre (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Rögzítsük \(\displaystyle A\) egy tetszőleges \(\displaystyle \Delta\) háromszögelését. Megtartva az előző feladat jelöléseit, a \(\displaystyle \Delta\)-ban található háromszögek száma \(\displaystyle v(A)=2a+d-2\), ahol \(\displaystyle d=b+c\) az \(\displaystyle A\) halmaz \(\displaystyle C\) határára eső pontjainak száma. E háromszögek oldalai közül pontosan \(\displaystyle d\) darab helyezkedik el \(\displaystyle C\) határán, a többi \(\displaystyle C\) belsejében fut. Az ilyen szakaszok száma \(\displaystyle (3v(A)-d)/2=3a+d-3\), hiszen minden háromszögnek 3 oldala van, de a belül futó oldalszakaszokra két háromszög is illeszkedik.
Az \(\displaystyle A+A\) halmazt kicsinyítsük felére az origóból. Az így kapott \(\displaystyle A'\) halmazra nyilván \(\displaystyle v(A')=v(A+A)\). Az \(\displaystyle A'\) halmaz konvex burka szintén \(\displaystyle C\) lesz. Jelölje \(\displaystyle a'\) és \(\displaystyle d'\) az \(\displaystyle A'\) halmaz \(\displaystyle C\) belsejébe, illetve \(\displaystyle C\) határára eső pontjainak számát. Az \(\displaystyle A'\) halmaz pontjai éppen az \(\displaystyle xy\) (\(\displaystyle x=y\) esetén ponttá elfajuló) szakaszok felezőpontjai, ahol \(\displaystyle x,y\in A\). Az \(\displaystyle A'\) halmaz \(\displaystyle C\) határára eső elemei között szerepelnek az \(\displaystyle A\) halmaz \(\displaystyle C\) határára eső elemei, melyek \(\displaystyle C\) határát \(\displaystyle d\) szakaszra osztják. Szerepelnek továbbá ezen szakaszok felezőpontjai is, melyek az előzőekkel együtt \(\displaystyle C\) határát már \(\displaystyle 2d\) szakaszra osztják. Innen látszik, hogy \(\displaystyle d'\ge 2d\). Hasonlóképpen, az \(\displaystyle A'\) halmaz \(\displaystyle C\) belsejébe eső elemei között szerepelnek az \(\displaystyle A\) halmaz \(\displaystyle C\) belsejébe eső elemei, továbbá a \(\displaystyle \Delta\)-ban szereplő háromszögek \(\displaystyle C\) belsejében haladó oldalainak a felezőpontjai, melyek sem egymással, sem az előzőkkel nem esnek egybe. Ezért \(\displaystyle a'\ge a+(3a+d-3)=4a+d-3\). Mindent összevetve,
\(\displaystyle v(A+A)=v(A')=2a'+d'-2\ge 2(4a+d-3)+2d-2=4(2a+d-2)=4v(A).\)
Statisztika:
20 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston. 4 pontot kapott: Keresztfalvi Tibor, Nagy Róbert. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai