KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4201. Prove that the inequality \frac{ab}{a^2+3b^2}
+\frac{bc}{b^2+3c^2} + \frac{ca}{c^2+3a^2} \le \frac{3}{4} is true for all positive numbers a, bc.

(5 points)

Deadline expired on 12 October 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az \(\displaystyle x=a/b\), \(\displaystyle y=b/c\), \(\displaystyle z=c/a\) helyettesítéssel hozzuk az egyenlőtlenséget

\(\displaystyle \frac{x}{x^2+{3}}+\frac{y}{y^2+{3}}+\frac{z}{z^2+{3}} \le \frac{3}{4},\)

majd felszorzás után

\(\displaystyle 4\{x(y^2+3)(z^2+3)+y(x^2+3)(z^2+3)+z(x^2+3)(y^2+3)\}\le 3(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\)

alakra. átalakítva

\(\displaystyle 4\{(xyz(xy+xz+yz)+3(xy^2+x^2y+xz^2+x^2z+yz^2+y^2z)+9(x+y+z)\}\le\)

\(\displaystyle \le3\{x^2y^2z^2+3(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)+9(x^2+y^2+z^2)+27\}.\)

Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle xyz=1\), \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)\), \(\displaystyle x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=(xy+xz+yz)^2-2xyz(x+y+z)\) és

\(\displaystyle xy^2+x^2y+xz^2+x^2z+yz^2+y^2z=(x+y+z)(xy+xz+yz)-3xyz,\)

az \(\displaystyle A=x+y+z\) és \(\displaystyle B=xy+xz+yz\) helyettesítéssel a bizonyítandó egyenlőtlenség

\(\displaystyle 4\{B+3(AB-3)+9A\}\le 3\{28+3(B^2-2A)+9(A^2-2B)\},\)

azaz

\(\displaystyle 0\le 9B^2-12AB-58B+27A^2-54A+120.\)

Mivel \(\displaystyle A=B=3\) esetén itt egyenlőség áll, a jobboldalon álló kifejezést célszerű így átalakítani:

\(\displaystyle 6(B-A)^2+3(B-3)^2+9(A-3)^2+4(3A^2-10B+3).\)

Elegendő tehát annyit megmutatni, hogy

\(\displaystyle 0\le 3A^2-10B+3=3(x^2+y^2+z^2)-4(xy+xz+yz)+3.\)

Mivel \(\displaystyle xyz=1\), az \(\displaystyle x,y,z\) számok között van kettő olyan, amelynek nagyságviszonya az 1-hez ugyanolyan. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) ilyen, vagyis \(\displaystyle x,y\le 1\) vagy \(\displaystyle x,y\ge 1\) fennáll. Alkalmazzuk a \(\displaystyle z=1/xy\) helyettesítést. Ha felszorzunk \(\displaystyle x^2y^2\)-tel, akkor a bizonyítandó egyenlőtlenség az

\(\displaystyle 0\le 3(x^4y^2+x^2y^4+1)-4(x^3y^3+x^2y+xy^2)+3x^2y^2\)

alakot ölti. Ezt viszont könnyen leolvashatjuk, ha a jobboldali kifejezést

\(\displaystyle 2(x^2y-xy^2)^2+(x^2y-1)^2+(xy^2-1)^2+x^2(y-1)^2+y^2(x-1)^2+(x^2-1)(y^2-1)\)

alakba átírjuk. Könnyen ellenőrizhetjük azt is, hogy egyenlőség csakis \(\displaystyle x=y=z=1\), vagyis \(\displaystyle a=b=c\) esetén áll fenn.


Statistics on problem B. 4201.
33 students sent a solution.
5 points:Gudenus Balázs, Kaposvári István, Márkus Bence, Mester Márton, Repka 666 Dániel, Somogyi Ákos.
4 points:Karl Erik Holter, Perjési Gábor.
2 points:8 students.
1 point:6 students.
0 point:11 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley