Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4203. (October 2009)

B. 4203. A common tangent of two intersecting circles touches them at the points A and B, and the line segment connecting their centres intersects them at C and D, respectively. Prove that ABCD is a cyclic quadrilateral.

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A körök középpontját jelölje $\displaystyle M$, illetve $\displaystyle N$ az ábrán látható módon. Mivel $\displaystyle BAC\sphericalangle+CAM\sphericalangle=90^\circ$, az $\displaystyle AMC$ egyenlőszárú háromszögben $\displaystyle AMC\sphericalangle= 180^\circ -2CAM\sphericalangle=2BAC\sphericalangle$. Hasonlóképpen, $\displaystyle BND\sphericalangle=2ABC\sphericalangle$. Az $\displaystyle AM$ és $\displaystyle BN$ szakaszok párhuzamossága miatt $\displaystyle AMC\sphericalangle+BND\sphericalangle=180^\circ$, ahonnan $\displaystyle BAC\sphericalangle+ABC\sphericalangle=90^\circ$, vagyis az $\displaystyle ABC$ háromszög a $\displaystyle C$ csúcsnál derékszögű. Hasonlóképpen $\displaystyle ADB\sphericalangle=90^\circ$ is igaz. A $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontok tehát az $\displaystyle AB$ szakasz fölé emelt Thalesz-körön vannak, az $\displaystyle ABCD$ négyszög valóban húrnégyszög.

### Statistics:

 144 students sent a solution. 4 points: 97 students. 3 points: 13 students. 2 points: 5 students. 1 point: 5 students. 0 point: 17 students. Unfair, not evaluated: 7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009