English Információ A lap Pontverseny Cikkek Hírek Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4205. A, B, C, D are moving points in the plane, such that AD=BC=2 and AC=BD=4 remain valid, and the line segments AC and BD intersect each other for all positions of the points. How does the distance CD depend on the distance AB?

(3 points)

Deadline expired on 10 November 2009.

Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az $\displaystyle ABCD$ trapézban $\displaystyle BAD\sphericalangle+CDA\sphericalangle=180^\circ$, vagyis $\displaystyle \cos BAD\sphericalangle+\cos CDA\sphericalangle=0$. A koszinusz tétel szerint

$\displaystyle \frac{AB^2+2^2-4^2}{2\cdot 2AB}+\frac{CD^2+2^2-4^2}{2\cdot 2CD}=0,$

ahonnan felszorzás és rendezés után az

$\displaystyle (AB+CD)(AB\cdot CD-12)=0$

egyenlőségre jutunk, vagyis $\displaystyle CD=12/AB$.

Statistics on problem B. 4205.
 115 students sent a solution. 3 points: 76 students. 2 points: 8 students. 1 point: 17 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 3 solutions.

• Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009

•  Támogatóink: Morgan Stanley