KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4206. (October 2009)

B. 4206. Let p>3 be a prime number and let k and m be non-negative integers. Prove that pk+pm cannot be a perfect square. (Suggested by P. Kutas)

(3 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle k\le m\), ekkor \(\displaystyle p^k+p^m=p^k(p^{m-k}+1)\), ahol mindkét tényező pozitív egész. A második tényező csak \(\displaystyle m-k=0\), \(\displaystyle p=2\) esetén lehetne osztható \(\displaystyle p\)-vel. A szám tehát csak úgy lehetne négyzetszám, ha \(\displaystyle k\) páros, és \(\displaystyle p^{m-k}+1=n^2\) teljesül egy alkalmas \(\displaystyle n>1\) egész számmal. Ekkor \(\displaystyle p^{m-k}=n^2-1=(n-1)(n+1)\). Ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) is \(\displaystyle p\)-hatvány, de mivel nem lehet mindkettő \(\displaystyle p\)-vel osztható, ez csak az \(\displaystyle n-1=1\), \(\displaystyle p^{m-k}=3\) esetben fordulhatna elő, amit azonban kizár a \(\displaystyle p>3\) feltétel.


Statistics:

132 students sent a solution.
3 points:81 students.
2 points:11 students.
1 point:21 students.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley