Problem B. 4206. (October 2009)
B. 4206. Let p>3 be a prime number and let k and m be non-negative integers. Prove that pk+pm cannot be a perfect square. (Suggested by P. Kutas)
(3 pont)
Deadline expired on November 10, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle k\le m\), ekkor \(\displaystyle p^k+p^m=p^k(p^{m-k}+1)\), ahol mindkét tényező pozitív egész. A második tényező csak \(\displaystyle m-k=0\), \(\displaystyle p=2\) esetén lehetne osztható \(\displaystyle p\)-vel. A szám tehát csak úgy lehetne négyzetszám, ha \(\displaystyle k\) páros, és \(\displaystyle p^{m-k}+1=n^2\) teljesül egy alkalmas \(\displaystyle n>1\) egész számmal. Ekkor \(\displaystyle p^{m-k}=n^2-1=(n-1)(n+1)\). Ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle n-1\) és \(\displaystyle n+1\) is \(\displaystyle p\)-hatvány, de mivel nem lehet mindkettő \(\displaystyle p\)-vel osztható, ez csak az \(\displaystyle n-1=1\), \(\displaystyle p^{m-k}=3\) esetben fordulhatna elő, amit azonban kizár a \(\displaystyle p>3\) feltétel.
Statistics:
132 students sent a solution. 3 points: 81 students. 2 points: 11 students. 1 point: 21 students. 0 point: 14 students. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009