KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4208. Let n be a positive integer. Determine the first digit following the decimal point in the number


\sum_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n}}.

(Suggested by M. Bencze, Brasov)

(4 points)

Deadline expired on 10 November 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Minden \(\displaystyle k\) pozitív egész számra

\(\displaystyle (k+0,4)^2=k^2+0,8k+0,16\le k^2+0,96k<k^2+k<k^2+k+0,25=(k+0,5)^2,\)

vagyis \(\displaystyle k+0,4<\sqrt{k(k+1)}<k+0,5\). Ezért

\(\displaystyle \sum_{k=1}^nk+0,4n<\sum_{k=1}^n\sqrt{k(k+1)}< \sum_{k=1}^nk+0,5n,\)

tehát

\(\displaystyle \frac{n+1}{2}+0,4< \sum_{k=1}^{n}{\frac{\sqrt{k(k+1)}}{n}}\frac{n+1}{2}+0,5.\)

Ha \(\displaystyle n=2m\), akkor a szóban forgó összeg \(\displaystyle m+0,9\) és \(\displaystyle m+1\) közé esik, ha pedig \(\displaystyle n=2m-1\), akkor \(\displaystyle m+0,4\) és \(\displaystyle m+0,5\) közé.

Vagyis páros \(\displaystyle n\) esetén a kérdéses számjegy 9, páratlan \(\displaystyle n\) esetén pedig 4.


Statistics on problem B. 4208.
91 students sent a solution.
4 points:63 students.
3 points:1 student.
2 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley