KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4209. (October 2009)

B. 4209. In an acute triangle ABC, the feet of the altitudes drawn from A and B are A1 and B1, respectively, and the orthocentre of the triangle is M. The median drawn from B intersects line A1B1 at point P. Prove that BPM\sphericalangle is a right angle if and only if B1C=3AB1.

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle AC\) szakasz felezőpontját \(\displaystyle F\). Ha \(\displaystyle B_1=F\), akkor \(\displaystyle P=F\), és a szóban forgó szög 0. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle AF\) szakasz belső pontja, vagyis \(\displaystyle B_1C>AB_1\). Mivel \(\displaystyle AB_1B\sphericalangle=AA_1B\sphericalangle=90^\circ\), az \(\displaystyle ABA_1B_1\) négyszög húrnégyszög, tehát \(\displaystyle ABB_1\sphericalangle=AA_1B_1\sphericalangle\). A \(\displaystyle BPM\) szög pontosan akkor derékszög, ha az \(\displaystyle MBA_1P\) négyszög húrnégyszög, vagyis ha \(\displaystyle MBP\sphericalangle=MA_1P\sphericalangle\). Az előbbiek miatt ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle ABB_1\sphericalangle=FBB_1\sphericalangle\), vagyis ha \(\displaystyle BB_1\) szögfelező az \(\displaystyle ABF\) háromszögben. Ez a szögfelező pontosan akkor esik egybe az \(\displaystyle ABF\) háromszög \(\displaystyle BB_1\) magasságvonalával, ha \(\displaystyle ABF\) egyenlő szárú háromszög, vagyis ha \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle AF\) szakasz felezőpontja, ami éppen azt jelenti, hogy \(\displaystyle B_1C=3AB_1\).

Ha \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle FC\) szakasz belső pontja, vagyis \(\displaystyle B_1C<AB_1\), akkor \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BFC\) háromszögbe esik, \(\displaystyle P\) pedig a háromszögön kívül helyezkedik el. Könnyű belátni, hogy ekkor a \(\displaystyle BPM\) szög hegyesszög. Valóban, ha \(\displaystyle B_1\) a \(\displaystyle PA_1\) szakasz belső pontja, akkor \(\displaystyle BF\) és \(\displaystyle AA_1\) metszéspontját \(\displaystyle X\)-szel jelölve, \(\displaystyle BPM\sphericalangle<BPA_1\sphericalangle<BXA_1<90^\circ\). Ha pedig \(\displaystyle A_1\) esik a \(\displaystyle B_1P\) szakaszra, akkor nyilván \(\displaystyle BPM\sphericalangle< BPC\sphericalangle<FBC\sphericalangle<ABC\sphericalangle<90^\circ\).


Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Árvay Balázs, Beke Lilla, Boér Lehel, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Janosov Milán, Janzer Olivér, Jászberényi Tünde, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Korondi Zénó, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Kunos Vid, Lencz András, Lencz Éva, Mailach Petra, Márkus Bence, Máthé László, Mátrahegyi Roland, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Milánkovich Dorottya, Nagy Róbert, Nagy-György Péter, Ódor Gergely, Orsós Ferenc Richárd, Rábai Domonkos, Somogyi Ákos, Tóth 222 Barnabás, Uray Marcell János, Veres Andrea, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
3 points:3 students.
2 points:7 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley