KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4210. An acute-angled triangle has sides a, b, c and area t. The sides satisfy the equality abc=a+b+c. Prove that


1<t\le \frac{3\sqrt{3}}{4}\,.

(4 points)

Deadline expired on 10 November 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A szokásos jelölésekkel a feltétel szerint

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=\frac{2t}{bc}+\frac{2t}{ac}+\frac{2t}{ab}=\frac{a+b+c}{abc}\cdot2t=2t,\)

ezért a bizonyítandó egyenlőtlenséget

\(\displaystyle 2<\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

alakban is felírhatjuk.

Mivel az \(\displaystyle f(x)=\sin x\) függvény a \(\displaystyle [0,\pi/2]\) intervallumon alulról szigorúan konkáv, a Jensen-egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{3}\le \sin\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\)

ahol egyenlőség csakis az \(\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^\circ\) esetben áll fenn. Innen a felső becslés azonnal leolvasható. Az alsó becsléshez induljunk ki a

\(\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\)

azonosságból. Rögzített \(\displaystyle x+y\) esetén tehát \(\displaystyle \sin x+\sin y\) értéke egyenesen arányos \(\displaystyle \cos\frac{x-y}{2}\) értékével. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle 0<\alpha\le \beta\le \gamma\le \pi/2\), ekkor \(\displaystyle \beta<\pi/2\) is fennáll. Legyen \(\displaystyle \alpha'=\alpha+\gamma-\pi/2\), ekkor \(\displaystyle 0<\alpha'\le \alpha\), \(\displaystyle \alpha'+\pi/2=\alpha +\gamma\) és \(\displaystyle 0\le \gamma-\alpha\le \pi/2-\alpha'<\pi/2\). Ezért

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\gamma\ge \sin\alpha'+\sin\frac{\pi}{2}=\sin\alpha'+1.\)

Figyelembe véve azt is, hogy \(\displaystyle 0<\alpha'\le\beta<\pi/2\) és \(\displaystyle \alpha'+\beta=\pi/2\), az előző gondolat újbóli alkalmazásával kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ge \sin\alpha'+\sin\beta+1>\sin 0+\sin\frac{\pi}{2}+1=2,\)

és az is látszik, hogy az alsó becslés nem javítható.


Statistics on problem B. 4210.
65 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Csere Kálmán, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Hajdu Ákos, Hegedűs Csaba, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Kiss 902 Melinda Flóra, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Márkus Bence, Máthé László, Mészáros András, Ódor Gergely, Perjési Gábor, Popper Dávid, Repka 666 Dániel, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.
3 points:Janosov Milán, Kovács 729 Gergely, Medek Ákos, Pálfi Bence, Tóth 419 Péter.
2 points:10 students.
1 point:8 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley