Problem B. 4210. (October 2009)

B. 4210. An acute-angled triangle has sides a, b, c and area t. The sides satisfy the equality abc=a+b+c. Prove that

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A szokásos jelölésekkel a feltétel szerint

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=\frac{2t}{bc}+\frac{2t}{ac}+\frac{2t}{ab}=\frac{a+b+c}{abc}\cdot2t=2t,\)

ezért a bizonyítandó egyenlőtlenséget

\(\displaystyle 2<\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

alakban is felírhatjuk.

Mivel az \(\displaystyle f(x)=\sin x\) függvény a \(\displaystyle [0,\pi/2]\) intervallumon alulról szigorúan konkáv, a Jensen-egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{3}\le \sin\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\)

ahol egyenlőség csakis az \(\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^\circ\) esetben áll fenn. Innen a felső becslés azonnal leolvasható. Az alsó becsléshez induljunk ki a

\(\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\)

azonosságból. Rögzített \(\displaystyle x+y\) esetén tehát \(\displaystyle \sin x+\sin y\) értéke egyenesen arányos \(\displaystyle \cos\frac{x-y}{2}\) értékével. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle 0<\alpha\le \beta\le \gamma\le \pi/2\), ekkor \(\displaystyle \beta<\pi/2\) is fennáll. Legyen \(\displaystyle \alpha'=\alpha+\gamma-\pi/2\), ekkor \(\displaystyle 0<\alpha'\le \alpha\), \(\displaystyle \alpha'+\pi/2=\alpha +\gamma\) és \(\displaystyle 0\le \gamma-\alpha\le \pi/2-\alpha'<\pi/2\). Ezért

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\gamma\ge \sin\alpha'+\sin\frac{\pi}{2}=\sin\alpha'+1.\)

Figyelembe véve azt is, hogy \(\displaystyle 0<\alpha'\le\beta<\pi/2\) és \(\displaystyle \alpha'+\beta=\pi/2\), az előző gondolat újbóli alkalmazásával kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ge \sin\alpha'+\sin\beta+1>\sin 0+\sin\frac{\pi}{2}+1=2,\)

és az is látszik, hogy az alsó becslés nem javítható.

Statistics:

65 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Csere Kálmán, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Hajdu Ákos, Hegedűs Csaba, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Kiss 902 Melinda Flóra, Kószó Simon, Kovács 235 Gábor, Márkus Bence, Máthé László, Mészáros András, Ódor Gergely, Perjési Gábor, Popper Dávid, Repka 666 Dániel, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.
3 points:	Janosov Milán, Kovács 729 Gergely, Medek Ákos, Pálfi Bence, Tóth 419 Péter.
2 points:	10 students.
1 point:	8 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	10 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009