KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4211. Show that there is no polynomial of rational coefficients that takes a non-integer value at exactly one integer. Is there a polynomial of this property with real coefficients? (Suggested by P. Maga)

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Tegyük fel, hogy létezik olyan racionális együtthatós p polinom, amely éppen a k egész számra vesz fel nem egész értéket, akkor a q(x)=p(x-k) polinom is racionális együtthatós, de a 0 helyen fog nem egész értéket felvenni. Feltehetjük tehát, hogy p(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0, ahol a polinom konstans tagja, a0 nem egész szám. Tekintsük most az a_0, a_1,\ldots,a_n racionális számok nevezőinek legkisebb közös többszörösét. Ezt a 0-tól különböző N számot a polinomba behelyettesítve minden aiNi alakú tag egész lesz a konstans tagot kivéve, a polinom tehát nem csak egy helyen vesz fel nem egész értéket.

A valós együtthatós esetben ugyancsak nemleges a válasz, ugyanis ezt visszavezethetjük az előző esetre, ha megmutatjuk, hogy egy n-edfokú p polinom csak akkor vehet fel n+1 különböző racionális helyen is racionális értéket, ha minden együtthatója racionális. Ezt fokszám szerinti indukcióval bizonyítjuk. Ha n=0, vagyis konstans polinomról van szó, akkor az állítás nyilvánvaló. Legyen most n pozitív, és tegyük fel, hogy az állítást kisebb fokú polinomokra már igazoltuk.

Tegyük fel, hogy a p(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0 polinom, ahol an\ne0, az egymástól különböző r_1,\ldots,r_{n+1} racionális helyeken is racionális értéket vesz fel. Ha a q(x)=p(x-rn+1) polinom együtthatói racionálisak, akkor a p(x)=q(x+rn+1) polinom együtthatói is azok, vagyis nyugodtan feltehetjük, hogy rn+1=0. Innen rögtön következik, hogy a0=p(rn+1) racionális. Továbbá minden 1\lei\len esetén ri\ne0, vagyis a_nr_i^{n-1}+\ldots+a_2r_i+a_1=(p(r_i)-a_0)/r_i is racionális szám.

Az n-1-edfokú p^*(x)=a_nx^{n-1}+\ldots +a_2x+a_1 polinom tehát n különböző racionális helyen racionális értéket vesz fel. így az indukciós feltevés miatt a_1,\ldots,a_n is racionális számok, vagyis p minden együtthatója racionális. Ezzel az indukciós lépést befejeztük.


Statistics on problem B. 4211.
22 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Cséke Balázs, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Varnyú József, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:Bálint Csaba.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program