KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4217. Let a, b, c denote the sides of an acute triangle and let \gamma, \beta, \alpha, respectively, denote the opposite angles (in radians). Show that \frac{\pi}{3}\le \frac{\alpha a^2+\beta
  b^2+\gamma c^2}{a^2+b^2+c^2}<\frac{\pi}{2}.

(4 points)

Deadline expired on 10 December 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Ha a háromszög szabályos, akkor a kifejezés értéke &tex;\displaystyle \pi/3&xet;. Belátjuk, hogy minden más esetben ennél határozottan nagyobb, de kisebb, mint &tex;\displaystyle \pi/2&xet;. Feltehetjük, hogy &tex;\displaystyle a\le b\le c&xet;, &tex;\displaystyle a<c&xet;, vagyis &tex;\displaystyle \alpha\le \beta\le \gamma&xet;, &tex;\displaystyle \alpha<\gamma&xet;, ahol két szög pontosan akkor egyenlő, ha a nekik megfelelő oldalak egyenlő hosszúak. A bizonyítás alapja a következő állítás. Legyen &tex;\displaystyle A,B,\tau&xet; rögzített. Ha &tex;\displaystyle A=B&xet;, akkor az &tex;\displaystyle f(x)=A(\tau-x)+B(x)&xet; függvény értéke az &tex;\displaystyle x&xet;-től független &tex;\displaystyle A\tau&xet; állandó, &tex;\displaystyle A<B&xet; esetén viszont &tex;\displaystyle f(x)&xet; szigorúan monoton növekedő, hiszen ekkor &tex;\displaystyle x_1<x_2&xet; esetén &tex;\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=(B-A)(x_2-x_1)>0&xet;.

A felső becsléshez legyen &tex;\displaystyle \beta=\pi/2-\alpha_1&xet;, &tex;\displaystyle \gamma=\pi/2-\alpha_2&xet;, ahol a pozitív &tex;\displaystyle \alpha_1&xet; és &tex;\displaystyle \alpha_2&xet; számok összege éppen &tex;\displaystyle \alpha&xet;. Az állítás szerint &tex;\displaystyle a^2\alpha_1+b^2\beta\le a^2\cdot 0+b^2(\pi/2)&xet; és &tex;\displaystyle a^2\alpha_2+c^2\gamma< a^2\cdot 0+c^2(\pi/2)&xet;, vagyis valóban

&tex;\displaystyle {\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2} =(a^2\alpha_1+b^2\beta)+(a^2\alpha_2+c^2\gamma)<\frac{\pi}{2}(b^2+c^2)< \frac{\pi}{2}(a^2+b^2+c^2).&xet;

Az alsó becsléshez tegyük fel először azt, hogy &tex;\displaystyle \beta\ge\pi/3&xet;, vagyis &tex;\displaystyle \beta=\pi/3+\beta_1&xet;, &tex;\displaystyle \gamma=\pi/3+\gamma_1&xet;, &tex;\displaystyle \alpha=\pi/3-\beta_1-\gamma_1&xet;, ahol &tex;\displaystyle 0\le \beta_1\le \gamma_1&xet; és &tex;\displaystyle \gamma_1>0&xet;. Ekkor az állítás ismételt alkalmazásával

&tex;\displaystyle \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\left(\frac{\pi}{3}-\beta_1\right)a^2 +\beta b^2+\frac{\pi}{3}c^2\ge \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2).&xet;

Ha pedig &tex;\displaystyle \alpha=\pi/3-\alpha_1&xet;, &tex;\displaystyle \beta=\pi/3-\beta_1&xet; és &tex;\displaystyle \gamma=\pi/3+ \beta_1+\alpha_1&xet;, ahol &tex;\displaystyle 0<\beta_1\le \alpha_1&xet;, akkor

&tex;\displaystyle \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\alpha a^2 +\frac{\pi}{3} b^2+\left(\frac{\pi}{3}+\alpha_1\right)c^2> \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2),&xet;

ahogyan azt állítottuk.


Statistics on problem B. 4217.
77 students sent a solution.
4 points:59 students.
3 points:5 students.
2 points:9 students.
1 point:1 student.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE