KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4217. Let a, b, c denote the sides of an acute triangle and let \gamma, \beta, \alpha, respectively, denote the opposite angles (in radians). Show that \frac{\pi}{3}\le \frac{\alpha a^2+\beta
  b^2+\gamma c^2}{a^2+b^2+c^2}<\frac{\pi}{2}.

(4 points)

Deadline expired on 10 December 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Ha a háromszög szabályos, akkor a kifejezés értéke \(\displaystyle \pi/3\). Belátjuk, hogy minden más esetben ennél határozottan nagyobb, de kisebb, mint \(\displaystyle \pi/2\). Feltehetjük, hogy \(\displaystyle a\le b\le c\), \(\displaystyle a<c\), vagyis \(\displaystyle \alpha\le \beta\le \gamma\), \(\displaystyle \alpha<\gamma\), ahol két szög pontosan akkor egyenlő, ha a nekik megfelelő oldalak egyenlő hosszúak. A bizonyítás alapja a következő állítás. Legyen \(\displaystyle A,B,\tau\) rögzített. Ha \(\displaystyle A=B\), akkor az \(\displaystyle f(x)=A(\tau-x)+B(x)\) függvény értéke az \(\displaystyle x\)-től független \(\displaystyle A\tau\) állandó, \(\displaystyle A<B\) esetén viszont \(\displaystyle f(x)\) szigorúan monoton növekedő, hiszen ekkor \(\displaystyle x_1<x_2\) esetén \(\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=(B-A)(x_2-x_1)>0\).

A felső becsléshez legyen \(\displaystyle \beta=\pi/2-\alpha_1\), \(\displaystyle \gamma=\pi/2-\alpha_2\), ahol a pozitív \(\displaystyle \alpha_1\) és \(\displaystyle \alpha_2\) számok összege éppen \(\displaystyle \alpha\). Az állítás szerint \(\displaystyle a^2\alpha_1+b^2\beta\le a^2\cdot 0+b^2(\pi/2)\) és \(\displaystyle a^2\alpha_2+c^2\gamma< a^2\cdot 0+c^2(\pi/2)\), vagyis valóban

\(\displaystyle {\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2} =(a^2\alpha_1+b^2\beta)+(a^2\alpha_2+c^2\gamma)<\frac{\pi}{2}(b^2+c^2)< \frac{\pi}{2}(a^2+b^2+c^2).\)

Az alsó becsléshez tegyük fel először azt, hogy \(\displaystyle \beta\ge\pi/3\), vagyis \(\displaystyle \beta=\pi/3+\beta_1\), \(\displaystyle \gamma=\pi/3+\gamma_1\), \(\displaystyle \alpha=\pi/3-\beta_1-\gamma_1\), ahol \(\displaystyle 0\le \beta_1\le \gamma_1\) és \(\displaystyle \gamma_1>0\). Ekkor az állítás ismételt alkalmazásával

\(\displaystyle \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\left(\frac{\pi}{3}-\beta_1\right)a^2 +\beta b^2+\frac{\pi}{3}c^2\ge \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2).\)

Ha pedig \(\displaystyle \alpha=\pi/3-\alpha_1\), \(\displaystyle \beta=\pi/3-\beta_1\) és \(\displaystyle \gamma=\pi/3+ \beta_1+\alpha_1\), ahol \(\displaystyle 0<\beta_1\le \alpha_1\), akkor

\(\displaystyle \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\alpha a^2 +\frac{\pi}{3} b^2+\left(\frac{\pi}{3}+\alpha_1\right)c^2> \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2),\)

ahogyan azt állítottuk.


Statistics on problem B. 4217.
77 students sent a solution.
4 points:59 students.
3 points:5 students.
2 points:9 students.
1 point:1 student.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley