Problem B. 4217.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4217. Let a, b, c denote the sides of an acute triangle and let $\gamma$ , $\beta$ , $\alpha$ , respectively, denote the opposite angles (in radians). Show that $\frac{\pi}{3}\le \frac{\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2}{a^2+b^2+c^2}<\frac{\pi}{2}$ .

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Ha a háromszög szabályos, akkor a kifejezés értéke $\pi$ /3. Belátjuk, hogy minden más esetben ennél határozottan nagyobb, de kisebb, mint $\pi$ /2. Feltehetjük, hogy a $\le$ b $\le$ c, a<c, vagyis $\alpha$ $\le$ $\beta$ $\le$ $\gamma$ , $\alpha$ < $\gamma$ , ahol két szög pontosan akkor egyenlő, ha a nekik megfelelő oldalak egyenlő hosszúak. A bizonyítás alapja a következő állítás. Legyen A,B, $\tau$ rögzített. Ha A=B, akkor az f(x)=A( $\tau$ -x)+B(x) függvény értéke az x-től független A $\tau$ állandó, A<B esetén viszont f(x) szigorúan monoton növekedő, hiszen ekkor x₁<x₂ esetén f(x₂)-f(x₁)=(B-A)(x₂-x₁)>0.

[] A felső becsléshez legyen $\beta$ = $\pi$ /2- $\alpha$ ₁, $\gamma$ = $\pi$ /2- $\alpha$ ₂, ahol a pozitív $\alpha$ ₁ és $\alpha$ ₂ számok összege éppen $\alpha$ . Az állítás szerint a² $\alpha$ ₁+b² $\beta$ $\le$ a²^.0+b²( $\pi$ /2) és a² $\alpha$ ₂+c² $\gamma$ <a²^.0+c²( $\pi$ /2), vagyis valóban

${\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2} =(a^2\alpha_1+b^2\beta)+(a^2\alpha_2+c^2\gamma)<\frac{\pi}{2}(b^2+c^2)< \frac{\pi}{2}(a^2+b^2+c^2).$

Az alsó becsléshez tegyük fel először azt, hogy $\beta$ $\ge$ $\pi$ /3, vagyis $\beta$ = $\pi$ /3+ $\beta$ ₁, $\gamma$ = $\pi$ /3+ $\gamma$ ₁, $\alpha$ = $\pi$ /3- $\beta$ ₁- $\gamma$ ₁, ahol 0 $\le$ $\beta$ ₁ $\le$ $\gamma$ ₁ és $\gamma$ ₁>0. Ekkor az állítás ismételt alkalmazásával

$\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\left(\frac{\pi}{3}-\beta_1\right)a^2 +\beta b^2+\frac{\pi}{3}c^2\ge \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2).$

Ha pedig $\alpha$ = $\pi$ /3- $\alpha$ ₁, $\beta$ = $\pi$ /3- $\beta$ ₁ és $\gamma$ = $\pi$ /3+ $\beta$ ₁+ $\alpha$ ₁, ahol 0< $\beta$ ₁ $\le$ $\alpha$ ₁, akkor

$\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\alpha a^2 +\frac{\pi}{3} b^2+\left(\frac{\pi}{3}+\alpha_1\right)c^2> \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2),$

ahogyan azt állítottuk.

Statistics on problem B. 4217.

77 students sent a solution.

4 points: 59 students.

3 points: 5 students.

2 points: 9 students.

1 point: 1 student.

0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

Our web pages are supported by:

ELTE