KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4220. Solve the following simultaneous equations:

\(\displaystyle 1-\frac{12}{3x+y} =\frac{2}{\sqrt{x}},\)

\(\displaystyle 1+\frac{12}{3x+y} =\frac{6}{\sqrt{y}}.\)

Lithuanian competition problem

(4 points)

Deadline expired on 10 December 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) pozitív számok, legyen \(\displaystyle y=ax\) alkalmas \(\displaystyle a\) pozitív számmal. A két egyenletet összeadva, illetve a másodikból az elsőt kivonva a

\(\displaystyle 2=\left(\frac{6}{\sqrt{a}}+2\right)\frac{1}{\sqrt{x}}\qquad \hbox{és} \qquad \frac{24}{(3+a)x}=\left(\frac{6}{\sqrt{a}}-2\right)\frac{1}{\sqrt{x}}\)

összefüggésekre jutunk, melyeket összeszorozva, \(\displaystyle x\)-szel való beszorzás után \(\displaystyle a\)-ra a

\(\displaystyle \frac{48}{3+a}=\left(\frac{6}{\sqrt{a}}+2\right) \left(\frac{6}{\sqrt{a}}-2\right)=\frac{36}{a}-4\)

egyenletet kapjuk. Innen \(\displaystyle 12a=(9-a)(3+a)\), \(\displaystyle a^2+6a-27=0\). Az egyenlet pozitív gyöke \(\displaystyle a=3\), amit behelyettesítve \(\displaystyle \sqrt{x}=\sqrt{3}+1\), \(\displaystyle x=4+2\sqrt{3}\), \(\displaystyle y=3x=12+6\sqrt{3}\) adódik. Nem nehéz ellenőrizni, hogy ez a számpár valóban megoldása az egyenletrendszernek.


Statistics on problem B. 4220.
80 students sent a solution.
4 points:Árvay Balázs, Barczel Nikolett, Beke Lilla, Bodai Kristóf, Boér Lehel, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dorkó Barbara, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Hosszejni Darjus, Janosov Milán, Jernei Tamás, Kapitány Domonkos, Karkus Zsuzsa, Klincsik Gergely, Kovács 235 Gábor, Kovács 729 Gergely, Kovács Attila, Köpenczei Gergő, Lencz Éva, Márkus Bence, Mester Márton, Mihálka Éva Zsuzsanna, Mihálykó András, Mokcsay 026 Ádám, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Németh Bence, Neukirchner Elisabeth, Orsós Ferenc Richárd, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Réti Dávid, Szili László, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Vida 204 Zsóka, Virágh Eszter, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zempléni Réka, Zsakó András.
3 points:12 students.
2 points:7 students.
1 point:6 students.
0 point:7 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley