KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4221. Let a denote the side of the regular polygon of 18 sides inscribed in a circle of radius r. Show that a3+r3=3ar2.

(4 points)

Deadline expired on 10 December 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A kör középpontját a csúcsokkal összekötő szakaszok a sokszöget 18 darab olyan egyenlő szárú háromszögre bontják, melyeknek alapja \(\displaystyle a\), szára \(\displaystyle r\) hosszúságú, csúcsszöge pedig \(\displaystyle 20^\circ\). Ezért \(\displaystyle a=2r\sin10^\circ\), a bizonyítandó állítás pedig \(\displaystyle r^3\)-nal történő leosztás után \(\displaystyle 8\sin^310^\circ+1=6\sin10^\circ\) alakra hozható. Mivel az addíciós képletek és a trigonometrikus Pithagorasz-tétel szerint

\(\displaystyle \sin3\alpha=\sin2\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos2\alpha= 3\cos^2\alpha\sin\alpha-\sin^3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,\)

látható, hogy \(\displaystyle 6\sin10^\circ-8\sin^310^\circ=2\sin30^\circ=1\), amint azt bizonyítani kívántuk.


Statistics on problem B. 4221.
128 students sent a solution.
4 points:102 students.
3 points:4 students.
2 points:18 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley