A B. 4221. feladat (2009. november) |
B. 4221. Mutassuk meg, hogy ha az r sugarú körbe írt szabályos 18-szög oldala a, akkor a3+r3=3ar2.
(4 pont)
A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A kör középpontját a csúcsokkal összekötő szakaszok a sokszöget 18 darab olyan egyenlő szárú háromszögre bontják, melyeknek alapja \(\displaystyle a\), szára \(\displaystyle r\) hosszúságú, csúcsszöge pedig \(\displaystyle 20^\circ\). Ezért \(\displaystyle a=2r\sin10^\circ\), a bizonyítandó állítás pedig \(\displaystyle r^3\)-nal történő leosztás után \(\displaystyle 8\sin^310^\circ+1=6\sin10^\circ\) alakra hozható. Mivel az addíciós képletek és a trigonometrikus Pithagorasz-tétel szerint
\(\displaystyle \sin3\alpha=\sin2\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos2\alpha= 3\cos^2\alpha\sin\alpha-\sin^3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,\)
látható, hogy \(\displaystyle 6\sin10^\circ-8\sin^310^\circ=2\sin30^\circ=1\), amint azt bizonyítani kívántuk.
Statisztika:
128 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 102 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 18 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai