KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4224. The lengths of the diagonals of a rhombus with side 2 units are added. What integer values may the sum have?

(Suggested by G. Nyul)

(3 points)

Deadline expired on 11 January 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje az átlók hosszát \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\). Ekkor a Pithagorasz-tétel szerint \(\displaystyle (a/2)^2+(b/2)^2=2^2\),

\(\displaystyle 16=a^2+b^2<(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)=32.\)

Ezért ha \(\displaystyle a+b\) egész, akkor csak \(\displaystyle a+b=5\) jöhet szóba. Ilyen rombusz pontosan akkor létezik, ha az \(\displaystyle a+b=5\), \(\displaystyle a^2+b^2=16\) egyenletrendszernek létezik megoldása a pozitív számok körében. Mivel \(\displaystyle (a-b)^2=2(a^2+b^2)-(a+b)^2\), az egyenletrendszer ekvivalens az \(\displaystyle a+b=5\), \(\displaystyle (a-b)^2={7}\) egyenletrendszerrel, melynek megoldásai

\(\displaystyle a=\frac{5\pm\sqrt{7}}{2},\quad b=\frac{5\mp\sqrt{7}}{2}.\)

Mivel ezek pozitív számok, a rombusz átlóinak összege egyedül az 5 egész szám lehet.


Statistics on problem B. 4224.
162 students sent a solution.
3 points:109 students.
2 points:11 students.
1 point:17 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley