A B. 4224. feladat (2009. december)

B. 4224. Milyen egész szám lehet egy 2 oldalhosszúságú rombusz átlói hosszának az összege?

Javasolta: Nyul Gábor

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje az átlók hosszát \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\). Ekkor a Pithagorasz-tétel szerint \(\displaystyle (a/2)^2+(b/2)^2=2^2\),

\(\displaystyle 16=a^2+b^2<(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)=32.\)

Ezért ha \(\displaystyle a+b\) egész, akkor csak \(\displaystyle a+b=5\) jöhet szóba. Ilyen rombusz pontosan akkor létezik, ha az \(\displaystyle a+b=5\), \(\displaystyle a^2+b^2=16\) egyenletrendszernek létezik megoldása a pozitív számok körében. Mivel \(\displaystyle (a-b)^2=2(a^2+b^2)-(a+b)^2\), az egyenletrendszer ekvivalens az \(\displaystyle a+b=5\), \(\displaystyle (a-b)^2={7}\) egyenletrendszerrel, melynek megoldásai

\(\displaystyle a=\frac{5\pm\sqrt{7}}{2},\quad b=\frac{5\mp\sqrt{7}}{2}.\)

Mivel ezek pozitív számok, a rombusz átlóinak összege egyedül az 5 egész szám lehet.

Statisztika:

162 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	109 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai