Problem B. 4225.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4225. Solve the simultaneous equations

$\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{y+z}} + \frac{\sqrt{y+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+z}} &= 14 - 4\sqrt{x+z}- 4\sqrt{y+z},$

$\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y} +\sqrt{z+y} &= 4.$

(Suggested by B. Bíró)

(3 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Vezessük be az $a=\sqrt{y+z}$ , $b=\sqrt{x+z}$ , $c=\sqrt{x+y}$ jelöléseket, itt c nemnegatív, a és b pedig pozitív szám. Ekkor a második egyenlet a+b+c=4, míg az első

$\frac{4-a}{a}+\frac{4-b}{b}=14-4a-4b,$

átrendezés és 4-gyel történő leosztás után pedig

$\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)=4$

alakra hozható. Ennek megoldása a=b=1, c=2, hiszen pozitív x esetén $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , ahol egyenlőség csak x=1 esetén áll fenn. Vagyis y+z=x+z=1, x+y=4, az egyenletrendszer megoldása pedig x=y=2, z=-1.

Statistics on problem B. 4225.

116 students sent a solution.

3 points: 75 students.

2 points: 35 students.

1 point: 4 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009

Our web pages are supported by:

ELTE