KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4225. Solve the simultaneous equations

\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{y+z}} +
\frac{\sqrt{y+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+z}} &= 14 - 4\sqrt{x+z}- 4\sqrt{y+z},

\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y} +\sqrt{z+y} &= 4.

(Suggested by B. Bíró)

(3 points)

Deadline expired on 11 January 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Vezessük be az &tex;\displaystyle a=\sqrt{y+z}&xet;, &tex;\displaystyle b=\sqrt{x+z}&xet;, &tex;\displaystyle c=\sqrt{x+y}&xet; jelöléseket, itt &tex;\displaystyle c&xet; nemnegatív, &tex;\displaystyle a&xet; és &tex;\displaystyle b&xet; pedig pozitív szám. Ekkor a második egyenlet &tex;\displaystyle a+b+c=4&xet;, míg az elsõ

&tex;\displaystyle \frac{4-a}{a}+\frac{4-b}{b}=14-4a-4b,&xet;

átrendezés és 4-gyel történõ leosztás után pedig

&tex;\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)=4&xet;

alakra hozható. Ennek megoldása &tex;\displaystyle a=b=1&xet;, &tex;\displaystyle c=2&xet;, hiszen pozitív &tex;\displaystyle x&xet; esetén &tex;\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2&xet;, ahol egyenlõség csak &tex;\displaystyle x=1&xet; esetén áll fenn. Vagyis &tex;\displaystyle y+z=x+z=1&xet;, &tex;\displaystyle x+y=4&xet;, az egyenletrendszer megoldása pedig &tex;\displaystyle x=y=2&xet;, &tex;\displaystyle z=-1&xet;.


Statistics on problem B. 4225.
116 students sent a solution.
3 points:75 students.
2 points:35 students.
1 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009

  • Our web pages are supported by:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi ErőforrĂĄs TĂĄmogatĂĄskezelő   Emberi ErőforrĂĄsok MinisztĂŠriuma  
    OktatĂĄskutatĂł ĂŠs Fejlesztő IntĂŠzet   Nemzeti TehetsĂŠg Program     Nemzeti
KulturĂĄlis Alap   ELTE   Morgan Stanley