KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4225. (December 2009)

B. 4225. Solve the simultaneous equations

\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{y+z}} +
\frac{\sqrt{y+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+z}} &= 14 - 4\sqrt{x+z}- 4\sqrt{y+z},

\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y} +\sqrt{z+y} &= 4.

(Suggested by B. Bíró)

(3 pont)

Deadline expired on 11 January 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle a=\sqrt{y+z}\), \(\displaystyle b=\sqrt{x+z}\), \(\displaystyle c=\sqrt{x+y}\) jelöléseket, itt \(\displaystyle c\) nemnegatív, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pedig pozitív szám. Ekkor a második egyenlet \(\displaystyle a+b+c=4\), míg az első

\(\displaystyle \frac{4-a}{a}+\frac{4-b}{b}=14-4a-4b,\)

átrendezés és 4-gyel történő leosztás után pedig

\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)=4\)

alakra hozható. Ennek megoldása \(\displaystyle a=b=1\), \(\displaystyle c=2\), hiszen pozitív \(\displaystyle x\) esetén \(\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2\), ahol egyenlőség csak \(\displaystyle x=1\) esetén áll fenn. Vagyis \(\displaystyle y+z=x+z=1\), \(\displaystyle x+y=4\), az egyenletrendszer megoldása pedig \(\displaystyle x=y=2\), \(\displaystyle z=-1\).


Statistics:

>
116 students sent a solution.
3 points:75 students.
2 points:35 students.
1 point:4 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley