Problem B. 4225. (December 2009)
B. 4225. Solve the simultaneous equations
(Suggested by B. Bíró)
(3 pont)
Deadline expired on January 11, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle a=\sqrt{y+z}\), \(\displaystyle b=\sqrt{x+z}\), \(\displaystyle c=\sqrt{x+y}\) jelöléseket, itt \(\displaystyle c\) nemnegatív, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pedig pozitív szám. Ekkor a második egyenlet \(\displaystyle a+b+c=4\), míg az első
\(\displaystyle \frac{4-a}{a}+\frac{4-b}{b}=14-4a-4b,\)
átrendezés és 4-gyel történő leosztás után pedig
\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)=4\)
alakra hozható. Ennek megoldása \(\displaystyle a=b=1\), \(\displaystyle c=2\), hiszen pozitív \(\displaystyle x\) esetén \(\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2\), ahol egyenlőség csak \(\displaystyle x=1\) esetén áll fenn. Vagyis \(\displaystyle y+z=x+z=1\), \(\displaystyle x+y=4\), az egyenletrendszer megoldása pedig \(\displaystyle x=y=2\), \(\displaystyle z=-1\).
Statistics:
116 students sent a solution. 3 points: 75 students. 2 points: 35 students. 1 point: 4 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009