KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4229. In the parallelogram ABCD, 2BD2=BA2+BC2. Show that the circumscribed circle of triangle BCD goes through one of the points that trisect the diagonal AC.

(Suggested by L. Koncz, Budapest)

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Ismeretes, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik az oldalainak négyzetösszegével; ez könnyen igazolható pl. a koszinusz-tétel segítségével. Ezért

AC2+BD2=2(BA2+BC2)=4BD2,

ahonnan AC2=3BD2, AC=\sqrt{3}BD. Legyen a BD és AC szakaszok közös felezőpontja F, az AC átló A-hoz közelebbi harmadolópontja H. Ekkor 3FH=FC=\sqrt{3}FB=\sqrt{3}FD miatt FC:FB=FD:FH=\sqrt{3}, vagyis az FCB háromszög hasonló az FDH háromszöghöz. Ezért a HB szakasz a C és D pontokból ugyanakkora szög alatt látszik, vagyis a H,B,C,D pontok, ebben a sorrendben, egy körre illeszkednek. Ez bizonyítja az állítást.


Statistics on problem B. 4229.
61 students sent a solution.
4 points:Árvay Balázs, Bauer Barbara, Beke Lilla, Béres Ferenc, Bogár Blanka, Brunda Dániel, Böőr Katalin, Csere Kálmán, Csörgő András, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dorkó Barbara, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Kovács 235 Gábor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Nemecskó István, Németh 217 Balázs, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Repka 666 Dániel, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Tóth 419 Péter, Uray Marcell János, Varju 105 Tamás, Veres Andrea, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 points:8 students.
2 points:1 student.
1 point:3 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program