KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4229. (December 2009)

B. 4229. In the parallelogram ABCD, 2BD2=BA2+BC2. Show that the circumscribed circle of triangle BCD goes through one of the points that trisect the diagonal AC.

(Suggested by L. Koncz, Budapest)

(4 pont)

Deadline expired on 11 January 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ismeretes, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik az oldalainak négyzetösszegével; ez könnyen igazolható pl. a koszinusz-tétel segítségével. Ezért

\(\displaystyle AC^2+BD^2=2(BA^2 + BC^2)=4BD^2,\)

ahonnan \(\displaystyle AC^2=3BD^2\), \(\displaystyle AC=\sqrt{3}BD\). Legyen a \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle AC\) szakaszok közös felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle AC\) átló \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle H\). Ekkor \(\displaystyle 3FH=FC=\sqrt{3}FB=\sqrt{3}FD\) miatt \(\displaystyle FC:FB=FD:FH=\sqrt{3}\), vagyis az \(\displaystyle FCB\) háromszög hasonló az \(\displaystyle FDH\) háromszöghöz. Ezért a \(\displaystyle HB\) szakasz a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokból ugyanakkora szög alatt látszik, vagyis a \(\displaystyle H,B,C,D\) pontok, ebben a sorrendben, egy körre illeszkednek. Ez bizonyítja az állítást.


Statistics:

61 students sent a solution.
4 points:Árvay Balázs, Bauer Barbara, Beke Lilla, Béres Ferenc, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Brunda Dániel, Csere Kálmán, Csörgő András, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dorkó Barbara, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Halász Dániel, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Kovács 235 Gábor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Nagy Róbert, Nemecskó István, Németh 217 Balázs, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Repka 666 Dániel, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Tóth 419 Péter, Uray Marcell János, Varju 105 Tamás, Veres Andrea, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 points:8 students.
2 points:1 student.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley