KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4230. (December 2009)

B. 4230. Each edge of a regular pyramid of square base has unit length. Determine the distance between the lines of two skew edges.

(4 pont)

Deadline expired on 11 January 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Szimmetria okok miatt bármely két kitérő élegyenes távolsága ugyanannyi. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet , csúcsa pedig az \(\displaystyle E\) pont legyen, ahol az \(\displaystyle A,B,C,D\) csúcsok koordinátái rendre \(\displaystyle (0;0;0)\), \(\displaystyle (1;0;0)\), \(\displaystyle (1;1;0)\) és \(\displaystyle (0;1;0)\), az \(\displaystyle E\) csúcs pedig a pozitív térnyolcadba esik. Az \(\displaystyle A\) csúcs \(\displaystyle E\)-re vett \(\displaystyle T\) tükörképe a \(\displaystyle C\) csúcs fölött helyezkedik el, koordinátái tehát \(\displaystyle (1;1;c)\) ahol a \(\displaystyle c\) pozitív számot a térbeli Pithagorasz-tétel alapján könnyen meghatározhatjuk: \(\displaystyle 1^2+1^2+c^2=AT^2=2^2\), vagyis \(\displaystyle c=\sqrt{2}\). Jelölje \(\displaystyle X(x;x;\sqrt{2}x)\) és \(\displaystyle Y(1;y;0)\) az \(\displaystyle AT\), illetve \(\displaystyle BC\) egyenesek egy-egy tetszőleges pontját. Az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle BC\) kitérő élegyenesek távolsága a \(\displaystyle d=XY\) távolság legkisebb lehetséges értéke. Mármost

\(\displaystyle d^2=(x-1)^2+(x-y)^2+(\sqrt{2}x)^2= (x-y)^2+3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3},\)

ahol egyenlőség pontosan az \(\displaystyle x=y=1/3\) esetben áll fenn. Ezek szerint a két kitérő él távolsága \(\displaystyle \sqrt{2/3}\), a normáltranszverzálist pedig az \(\displaystyle A\)-hoz, illetve \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontjuk határozza meg.


Statistics:

98 students sent a solution.
4 points:57 students.
3 points:8 students.
2 points:4 students.
1 point:17 students.
0 point:12 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley