KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4230. Each edge of a regular pyramid of square base has unit length. Determine the distance between the lines of two skew edges.

(4 points)

Deadline expired on 11 January 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Szimmetria okok miatt bármely két kitérő élegyenes távolsága ugyanannyi. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet , csúcsa pedig az \(\displaystyle E\) pont legyen, ahol az \(\displaystyle A,B,C,D\) csúcsok koordinátái rendre \(\displaystyle (0;0;0)\), \(\displaystyle (1;0;0)\), \(\displaystyle (1;1;0)\) és \(\displaystyle (0;1;0)\), az \(\displaystyle E\) csúcs pedig a pozitív térnyolcadba esik. Az \(\displaystyle A\) csúcs \(\displaystyle E\)-re vett \(\displaystyle T\) tükörképe a \(\displaystyle C\) csúcs fölött helyezkedik el, koordinátái tehát \(\displaystyle (1;1;c)\) ahol a \(\displaystyle c\) pozitív számot a térbeli Pithagorasz-tétel alapján könnyen meghatározhatjuk: \(\displaystyle 1^2+1^2+c^2=AT^2=2^2\), vagyis \(\displaystyle c=\sqrt{2}\). Jelölje \(\displaystyle X(x;x;\sqrt{2}x)\) és \(\displaystyle Y(1;y;0)\) az \(\displaystyle AT\), illetve \(\displaystyle BC\) egyenesek egy-egy tetszőleges pontját. Az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle BC\) kitérő élegyenesek távolsága a \(\displaystyle d=XY\) távolság legkisebb lehetséges értéke. Mármost

\(\displaystyle d^2=(x-1)^2+(x-y)^2+(\sqrt{2}x)^2= (x-y)^2+3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3},\)

ahol egyenlőség pontosan az \(\displaystyle x=y=1/3\) esetben áll fenn. Ezek szerint a két kitérő él távolsága \(\displaystyle \sqrt{2/3}\), a normáltranszverzálist pedig az \(\displaystyle A\)-hoz, illetve \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontjuk határozza meg.


Statistics on problem B. 4230.
98 students sent a solution.
4 points:57 students.
3 points:8 students.
2 points:4 students.
1 point:17 students.
0 point:12 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley