Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4230. (December 2009)

B. 4230. Each edge of a regular pyramid of square base has unit length. Determine the distance between the lines of two skew edges.

(4 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Szimmetria okok miatt bármely két kitérő élegyenes távolsága ugyanannyi. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet , csúcsa pedig az \(\displaystyle E\) pont legyen, ahol az \(\displaystyle A,B,C,D\) csúcsok koordinátái rendre \(\displaystyle (0;0;0)\), \(\displaystyle (1;0;0)\), \(\displaystyle (1;1;0)\) és \(\displaystyle (0;1;0)\), az \(\displaystyle E\) csúcs pedig a pozitív térnyolcadba esik. Az \(\displaystyle A\) csúcs \(\displaystyle E\)-re vett \(\displaystyle T\) tükörképe a \(\displaystyle C\) csúcs fölött helyezkedik el, koordinátái tehát \(\displaystyle (1;1;c)\) ahol a \(\displaystyle c\) pozitív számot a térbeli Pithagorasz-tétel alapján könnyen meghatározhatjuk: \(\displaystyle 1^2+1^2+c^2=AT^2=2^2\), vagyis \(\displaystyle c=\sqrt{2}\). Jelölje \(\displaystyle X(x;x;\sqrt{2}x)\) és \(\displaystyle Y(1;y;0)\) az \(\displaystyle AT\), illetve \(\displaystyle BC\) egyenesek egy-egy tetszőleges pontját. Az \(\displaystyle AE\) és \(\displaystyle BC\) kitérő élegyenesek távolsága a \(\displaystyle d=XY\) távolság legkisebb lehetséges értéke. Mármost

\(\displaystyle d^2=(x-1)^2+(x-y)^2+(\sqrt{2}x)^2= (x-y)^2+3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3},\)

ahol egyenlőség pontosan az \(\displaystyle x=y=1/3\) esetben áll fenn. Ezek szerint a két kitérő él távolsága \(\displaystyle \sqrt{2/3}\), a normáltranszverzálist pedig az \(\displaystyle A\)-hoz, illetve \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontjuk határozza meg.


Statistics:

98 students sent a solution.
4 points:57 students.
3 points:8 students.
2 points:4 students.
1 point:17 students.
0 point:12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009