KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4235. The sides of a convex quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) are divided into \(\displaystyle n\ge 2\) equal parts. On the sides \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\), let \(\displaystyle A_k\), \(\displaystyle B_k\), \(\displaystyle C_k\), \(\displaystyle D_k\) denote the \(\displaystyle k\)th points of division, counting from the vertices \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), respectively. For which pairs \(\displaystyle (n,k)\) is it true that the quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) is a parallelogram if and only if the quadrilateral \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) is also a parallelogram?

Suggested by G. Mészáros, Kemence

(3 points)

Deadline expired on 10 February 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jól ismert iskolapélda, hogy tetszőleges konvex négyszög oldalfelező pontjai egy parellelogrammát határoznak meg. Ezért ha \(\displaystyle n\) páros, akkor \(\displaystyle k=n/2\) esetén az állítás nem lehet igaz. Belátjuk, hogy minden más esetben viszont teljesül az állítás, feltéve persze, hogy a \(\displaystyle k\) szám \(\displaystyle n\)-nél kisebb pozitív egész. Az nyilvánvaló, hogy ha az \(\displaystyle ABCD\) négyszög parallelogramma, akkor a középpontja körüli \(\displaystyle 180^\circ\)-os forgatás az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) konvex négyszöget is saját magába viszi, vagyis az is parallelogramma lesz. Az alábbiakban tehát azt fogjuk igazolni, hogy ha \(\displaystyle n\ne 2k\) és az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) négyszög parallelogramma, akkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög is szükségképpen az.

Egy rögzített pontból a sík tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjába mutató helyvektort jelölje \(\displaystyle {\bf p}\). Mivel az új négyszög csúcsai az eredeti négyszög oldalait \(\displaystyle k:(n-k)\) arányban osztják,

\(\displaystyle {\bf a_k}=\frac{k{\bf b}+(n-k){\bf a}}{n},\ {\bf b_k}=\frac{k{\bf c}+(n-k){\bf b}}{n}, {\bf c_k}=\frac{k{\bf d}+(n-k){\bf c}}{n},\ {\bf d_k}=\frac{k{\bf a}+(n-k){\bf d}}{n}.\)

Az \(\displaystyle XYZV\) konvex négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha \(\displaystyle {\bf y}-{\bf x}={\bf z}-{\bf v}\), vagyis ha \(\displaystyle {\bf y}+{\bf v}-{\bf x}-{\bf z}={\bf 0}\). Ha tehát az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) négyszög parallelogramma, akkor a fentiek miatt

\(\displaystyle \frac{n-2k}{n}({\bf b}+{\bf d}-{\bf a}-{\bf c})={\bf 0}.\)

Amennyiben \(\displaystyle n\ne 2k\), úgy ebből \(\displaystyle {\bf b}+{\bf d}-{\bf a}-{\bf c}={\bf 0}\) következik, vagyis az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög is parallelogramma.


Statistics on problem B. 4235.
39 students sent a solution.
3 points:Bálint Csaba, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Csuka Róbert, Éles András, Hajdók Soma, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kószó Simon, Köpenczei Gergő, Medek Ákos, Mihálka Éva Zsuzsanna, Szabó 928 Attila, Udvari Benjámin, Uray Marcell János, Zsakó András.
2 points:Bicskei Dávid, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Gyarmati Máté, Kovács 235 Gábor, Neukirchner Elisabeth, Szili László.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley