KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4235. The sides of a convex quadrilateral ABCD are divided into n\ge2 equal parts. On the sides AB, BC, CD, DA, let Ak, Bk, Ck, Dk denote the kth points of division, counting from the vertices A, B, CD, respectively. For which pairs (n,k) is it true that the quadrilateral ABCD is a parallelogram if and only if the quadrilateral AkBkCkDk is also a parallelogram?

(Suggested by G. Mészáros, Kemence)

(3 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Jól ismert iskolapélda, hogy tetszőleges konvex négyszög oldalfelező pontjai egy parellelogrammát határoznak meg. Ezért ha n páros, akkor k=n/2 esetén az állítás nem lehet igaz. Belátjuk, hogy minden más esetben viszont teljesül az állítás, feltéve persze, hogy a k szám n-nél kisebb pozitív egész. Az nyilvánvaló, hogy ha az ABCD négyszög parallelogramma, akkor a középpontja körüli 180o-os forgatás az AkBkCkDk konvex négyszöget is saját magába viszi, vagyis az is parallelogramma lesz. Az alábbiakban tehát azt fogjuk igazolni, hogy ha n\ne2k és az AkBkCkDk négyszög parallelogramma, akkor az ABCD négyszög is szükségképpen az.

[] Egy rögzített pontból a sík tetszőleges P pontjába mutató helyvektort jelölje p. Mivel az új négyszög csúcsai az eredeti négyszög oldalait k:(n-k) arányban osztják,

a_k=\frac{kb+(n-k)a}{n},\ b_k=\frac{kc+(n-k)b}{n},\ c_k=\frac{kd+(n-k)c}{n},\ d_k=\frac{ka+(n-k)d}{n}.

Az XYZV konvex négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha y-x=z-v, vagyis ha y+v-x-z=0. Ha tehát az AkBkCkDk négyszög parallelogramma, akkor a fentiek miatt

\frac{n-2k}{n}(b+d-a-c)=0.

Amennyiben n\ne2k, úgy ebből b+d-a-c=0 következik, vagyis az ABCD konvex négyszög is parallelogramma.


Statistics on problem B. 4235.
39 students sent a solution.
3 points:Bálint Csaba, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Csuka Róbert, Éles András, Hajdók Soma, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kószó Simon, Köpenczei Gergő, Medek Ákos, Mihálka Éva Zsuzsanna, Szabó 928 Attila, Udvari Benjámin, Uray Marcell János, Zsakó András.
2 points:Bicskei Dávid, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Gyarmati Máté, Kovács 235 Gábor, Neukirchner Elisabeth, Szili László.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program