KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4236. (January 2010)

B. 4236. Let \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\) be the sides of triangle \(\displaystyle ABC\), let \(\displaystyle f_a\), \(\displaystyle f_b\) and \(\displaystyle f_c\) denote the lengths of the interior angle bisectors, and let \(\displaystyle t_a\), \(\displaystyle t_b\) and \(\displaystyle t_c\) be the segments of the interior angle bisectors that lie inside the circumscribed circle. Show that \(\displaystyle a^2b^2c^2= f_af_bf_ct_at_bt_c\).

(Mathematics Magazine, 1977)

(3 pont)

Deadline expired on 10 February 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva, a kerületi szögek tétele miatt az \(\displaystyle AYB\) szög ugyanakkora, mint az \(\displaystyle ACB\) szög, vagyis az \(\displaystyle AYB\) háromszög hasonló az \(\displaystyle ACX\) háromszöghöz. Ezért \(\displaystyle AC:AX=AY:AB\), ahonnan \(\displaystyle f_at_a=bc\). Hasonlóképpen kapjuk, hogy \(\displaystyle f_bt_b=ac\) és \(\displaystyle f_ct_c=ab\). E három összefüggést összeszorozva adódik a bizonyítandó állítás.


Statistics:

76 students sent a solution.
3 points:69 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley