Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4236. (January 2010)

B. 4236. Let $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ and $\displaystyle c$ be the sides of triangle $\displaystyle ABC$, let $\displaystyle f_a$, $\displaystyle f_b$ and $\displaystyle f_c$ denote the lengths of the interior angle bisectors, and let $\displaystyle t_a$, $\displaystyle t_b$ and $\displaystyle t_c$ be the segments of the interior angle bisectors that lie inside the circumscribed circle. Show that $\displaystyle a^2b^2c^2= f_af_bf_ct_at_bt_c$.

(Mathematics Magazine, 1977)

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábra jelöléseit használva, a kerületi szögek tétele miatt az $\displaystyle AYB$ szög ugyanakkora, mint az $\displaystyle ACB$ szög, vagyis az $\displaystyle AYB$ háromszög hasonló az $\displaystyle ACX$ háromszöghöz. Ezért $\displaystyle AC:AX=AY:AB$, ahonnan $\displaystyle f_at_a=bc$. Hasonlóképpen kapjuk, hogy $\displaystyle f_bt_b=ac$ és $\displaystyle f_ct_c=ab$. E három összefüggést összeszorozva adódik a bizonyítandó állítás.

### Statistics:

 76 students sent a solution. 3 points: 69 students. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010