Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4237. (January 2010)

B. 4237. Let n be a positive integer. Determine the sum of all fractions \frac{1}{xy}, such that the numbers x and y are relative primes, are not greater than n, and their sum is greater than n.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a szóban forgó összeget \(\displaystyle S_n\), nyilván \(\displaystyle S_1=1\). Megmutatjuk, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre \(\displaystyle S_{n+1}=S_n\). Ebből \(\displaystyle n\) szerinti indukcióval adódik, hogy minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre \(\displaystyle S_n=1\). Jelölje \(\displaystyle U_n\) azon \(\displaystyle \frac{1}{xy}\) törtek összegét, amelyekre \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) olyan egymáshoz relatív prím pozitív egész számok, amelyek összege \(\displaystyle n\) (ekkor nyilván \(\displaystyle x,y< n\)), \(\displaystyle V_n\) pedig azon \(\displaystyle \frac{1}{xy}\) törtek összegét, amelyekre \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) olyan egymáshoz relatív prím pozitív egész számok, amelyek közül az egyik \(\displaystyle n\)-nel egyenlő, a másik pedig nem nagyobb (tehát \(\displaystyle n>1\) esetén határozottan kisebb), mint \(\displaystyle n\). Mivel az \(\displaystyle S_n\) meghatározásában szereplő \(\displaystyle \frac{1}{xy}\) törtekben a feltételekből adódóan \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) is pozitív, világos, hogy \(\displaystyle S_{n+1}=S_n+V_{n+1}-U_{n+1}\). Annyit kell tehát megmutatnunk, hogy minden \(\displaystyle n\ge 2\) esetén \(\displaystyle U_n=V_n\).

Legyenek \(\displaystyle a,b\) egész számok. Ha az \(\displaystyle a,b\) és \(\displaystyle a+b\) számok közül valamelyik kettőnek van egynél nagyobb közös osztója, akkor az osztja a harmadikat is. Ezért az \(\displaystyle x+y=n\) feltétel mellett \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pontosan akkor relatív prímek, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle n\) relatív prímek (vagy ami ugyanazt jelenti, \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle n\) relatív prímek). Ezek alapján

\(\displaystyle U_n=\sum\frac{1}{k(n-k)}\quad \hbox{és}\quad V_n=\sum\frac{1}{nk}+\sum\frac{1}{kn}=\sum\frac{1}{nk}+\sum\frac{1}{(n-k)n},\)

ahol az összegzést mindegyik esetben az \(\displaystyle n\)-nél kisebb, \(\displaystyle n\)-hez relatív prím \(\displaystyle k\) pozitív egészekre kell elvégezni.

Mivel azonban minden \(\displaystyle 1\le k\le n-1\) esetén

\(\displaystyle \frac{1}{k(n-k)}=\frac{1}{nk}+\frac{1}{(n-k)n},\)

az \(\displaystyle U_n=V_n\) összefüggés is nyilván teljesül.


Statistics:

22 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Karl Erik Holter, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Perjési Gábor, Szabó 928 Attila, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:Nagy Róbert, Somogyi Ákos, Strenner Péter.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010