Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4238. (January 2010)

B. 4238. Show that the points of the curve of equation \sqrt{X}+\sqrt{Y}=1 lie on a parabola.

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy a görbe minden pontja ugyanolyan távol van az \(\displaystyle F(1/2;1/2)\) ponttól, mint az \(\displaystyle X+Y=0\) egyenlető \(\displaystyle e\) egyenestől, vagyis illeszkedik arra a parabolára, amelynek fókuszpontja \(\displaystyle F\), vezéregyenese pedig \(\displaystyle e\).

A \(\displaystyle P(X;Y)\) pontnak az \(\displaystyle e\) egyenestől vett távolsága \(\displaystyle d_e=(X+Y)/\sqrt{2}\), az \(\displaystyle F\) ponttól vett távolsága pedig

\(\displaystyle d_F=\sqrt{\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^2}.\)

Minthogy a görbe minden \(\displaystyle P(X;Y)\) pontjára \(\displaystyle X,Y\ge 0\), a \(\displaystyle d_e=d_F\) feltétel a görbe pontjaira ekvivalens a \(\displaystyle d^2_e=d_F^2\), vagyis a

\(\displaystyle \frac{(X+Y)^2}{2}={\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^2}\)

feltétellel, amit azonos átalakításokkal

\(\displaystyle X^2+Y^2-2XY-2X-2Y+1=0\)

alakra hozhatunk.

Mivel a görbe minden \(\displaystyle P(X;Y)\) pontjára \(\displaystyle X+Y+2\sqrt{XY}=1\), vagyis \(\displaystyle 4XY=(1-X-Y)^2\) teljesül, a görbe pontjai ezt a feltételt valóban kielégítik.


Statistics:

79 students sent a solution.
4 points:51 students.
3 points:13 students.
2 points:3 students.
1 point:5 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010