Problem B. 4239.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4239. Solve the equation 8x(2x²-1)(8x⁴-8x²+1)=1.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Ha |x|>1, akkor 2x²-1>1 és így 8x⁴-8x²+1=2(2x²-1)²-1>1 is igaz, vagyis az egyenlet baloldalán álló kifejezés abszolút értéke nagyobb 8-nál. Ezért minden x megoldásra |x| $\le$ 1, és az x=cos t helyettesítéssel az egyenlet 8cos tcos 2tcos 4t=1 alakban írható fel, amit 2cos $\alpha$ cos $\beta$ =cos ( $\alpha$ + $\beta$ )+cos ( $\alpha$ - $\beta$ ) összefüggés ismételt felhasználásával

2(cos t+cos 3t+cos 5t+cos 7t)-1=0

alakra hozhatunk.

[] Az egyenlet egy nyilvánvaló megoldása x=1/2. A többi megoldás megtalálásához vegyük észre, hogy minden n $\ge$ 3 egész számra

$\cos\frac{2\pi}{n}+\cos\frac{4\pi}{n}+\cos\frac{6\pi}{n}+\ldots +\cos\frac{2n\pi}{n}=0.$

Ez azért van így, mert egy szabályos n-szög középpontjából a csúcsokba mutató vektorok összege 0, hiszen nem változik meg, ha elforgatjuk 2 $\pi$ /n szöggel. Ha úgy veszünk fel egy derékszögő koordinátarendszert, hogy a sokszög középpontja az origó, egyik csúcsa pedig az (1;0) pont legyen, akkor a fenti összeg éppen a csúcsokba mutató vektorok összegének első koordinátája, ezért 0.

[] Ha ezt az összefüggést n=7 esetén alkalmazzuk, akkor láthatjuk, hogy t=2 $\pi$ /7 megoldása a fenti trigonometrikus egyenletnek, hiszen ekkor 2cos t=cos t+cos 6t, 2cos 3t=cos 3t+cos 4t, 2cos 5t=cos 2t+cos 5t és 2cos 7t-1=cos 7t. Hasonlóképpen t=4 $\pi$ /7 és t=6 $\pi$ /7 is megoldásnak adódik. Az n=9 választással pedig ellenőrizhetjük, hogy t= $\pi$ /9 is megoldás, hiszen ekkor

$2\cos t=-\cos\frac{8\pi}{9}-\cos\frac{10\pi}{9},\qquad 2\cos 3t=-\cos\frac{6\pi}{9}-\cos\frac{12\pi}{9},$

$2\cos 5t=-\cos\frac{4\pi}{9}-\cos\frac{14\pi}{9},\qquad 2\cos 7t=-\cos\frac{2\pi}{9}-\cos\frac{16\pi}{9},\qquad -1=\cos\frac{18\pi}{9}.$

Hasonlóképpen megoldásnak adódik t=5 $\pi$ /9 és t=7 $\pi$ /9 is.

[] Mivel az eredeti egyenlet hetedfokú és annak az

$x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=\cos\frac{2\pi}{7},\quad x_3=\cos\frac{4\pi}{7}, \quad x_4=\cos\frac{6\pi}{7},$

$x_5=\cos\frac{\pi}{9}, \quad x_6=\cos\frac{5\pi}{9},\quad x_7=\cos\frac{7\pi}{9}$

számok páronként különböző megoldásai, ezzel meg is találtuk az egyenlet összes megoldását.

Statistics on problem B. 4239.

65 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Árvay Balázs, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Freud Edvin, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Korondi Zénó, Magyar Eszter, Márkus Bence, Máthé László, Medek Ákos, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Németh Bence, Neukirchner Elisabeth, Pálfi Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Réti Dávid, Sándor Áron Endre, Somogyi Ákos, Szili László, Tóth 222 Barnabás, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.

4 points: Csizmadia Luca, Frittmann Júlia, Hegedűs Csaba, Karl Erik Holter, Kovács 444 Áron, Nagy 111 Miklós, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Trauttwein Klaudia, Vuchetich Bálint.

3 points: 6 students.

2 points: 1 student.

1 point: 8 students.

0 point: 2 students.

Unfair, not evaluated: 3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010

Our web pages are supported by:

ELTE