KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4240. The planes S1 and S2 intersect in a line m. Line e intersects plane Si at the point Di. The angle enclosed by e and Si is \alphai. Show that if D1\neD2, then \alpha1>\alpha2 holds true if and only if D1 lies closer to m than D2.

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

A D1\neD2 feltétel azt jelenti, hogy sem D1, sem D2 nem esik az m egyenesre. Ha D1 és D2 ugyanolyan távol helyezkedik el m-től, akkor nyilván \alpha1=\alpha2. Szimmetria okok miatt tehát elég azt megmutatni, hogy ha D1 közelebb van m-hez mint D2, akkor \alpha1>\alpha2. Ez könnyen látható abban az esetben, ha az e egyenes merőleges m-re. Ha ugyanis az m egyenes e-hez legközelebbi pontja M, akkor tekintsük a D1MD2 háromszöget. Ebben a D2-nél lévő szög kisebb a D1-nél lévő szögnél. Ezért a D2-nél lévő szög mindenképpen hegyesszög, vagyis nem lehet más, mint \alpha2, a D1-nél lévő szög pedig vagy \alpha1, vagy 180o-\alpha1. Az \alpha1>\alpha2 egyenlőtlenség a második esetben a D1MD2 háromszögben fennálló (180o-\alpha1)+\alpha2<180o egyenlőtlenségből következik.

[] Az általános esetben tekintsük az S2 síkban a D2 pontra illeszkedő, m-mel párhuzamos egyenesnek azt a D2' pontját, amelyre az e'=D1D2' egyenes merőleges m-re. Legyen az m egyenes e'-höz legközelebbi pontja M', a D1M'D2' háromszögben a D1-nél, illetve a D2'-nél lévő szög pedig \alpha1', illetve \alpha2'. Mint ahogyan azt már láttuk, \alpha1'>\alpha2'. Vezessük be a {\bf d}=\overrightarrow{D_1D_2}, {\bf d}'=\overrightarrow{D_1D_2'} és {\bf m}=\overrightarrow{D_2'D_2} vektorokat, ekkor d=d'+m. Jelölje ezen felül az Si sík normálvektorát ni.

[] Ha az n normálvektorral rendelkező S síkkal a vele nem párhuzamos v vektor \alpha szöget zár be, akkor (ha a két lehetséges normálvektor közül azt tekintjük, amelyik v-vel hegyesszöget zár be) a v és a n vektorok \beta hajlásszögére \beta=90o-\alpha, vagyis a skaláris szorzás definíciója szerint vn=|v|.|n|cos \beta=|v|sin \alpha. Ennek megfelelően az ni vektorok irányát válasszuk úgy, hogy azok a d és d' vektorokkal hegyesszöget zárjanak be az ábra szerint. Mivel 90o\ge\alpha1'>\alpha2', kapjuk, hogy sin \alpha1'>sin \alpha2', vagyis d'n1=|d'|sin \alpha1'>|d'|sin \alpha2'=d'n2. Mivel az m egyenessel párhuzamos m vektor mindekét ni normálvektorra merőleges, mn1=mn2=0. Ezért d=d'+m miatt

|d|sin \alpha1=dn1=d'n1>d'n2=d'n2=|d|sin \alpha2,

vagyis sin \alpha1>sin \alpha2, ahonnan \alpha1>\alpha2 következik.


Statistics on problem B. 4240.
26 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Kungl Ákos Ferenc, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Milánkovich Dorottya, Nagy Balázs, Szabó 928 Attila, Trauttwein Klaudia, Uray Marcell János, Varnyú József.
3 points:Böőr Katalin, Nagy Róbert, Weisz Ágoston.
2 points:1 student.
1 point:4 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program