KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4245. (February 2010)

B. 4245. Prove that if a convex polygon \mathcal{K} is not a parallelogram then it is possible to select three sides, such that the triangle enclosed by the lines of the sides contains \mathcal{K}.

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az állítást a \(\displaystyle \mathcal{K}\) sokszög oldalainak száma szerinti indukcióval bizonyítjuk. Ha \(\displaystyle \mathcal{K}\) háromszög, akkor az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát hogy \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak \(\displaystyle n\ge 4\) oldala van, és \(\displaystyle n-1\) oldalú sokszögek esetén az állí tást már igazoltuk. Belátjuk, hogy \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak kiválasztható \(\displaystyle n-1\) oldalegyenese úgy, hogy az általuk meghatározott \(\displaystyle \mathcal{K}'\) sokszög nem parelelogramma, és tartalmazza \(\displaystyle \mathcal{K}\)-t. Ekkor az indukciós feltevés szerint \(\displaystyle \mathcal{K}'\)-nek kiválasztható három oldalegyenese (melyek egyben \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak is oldalegyenesei) úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza \(\displaystyle \mathcal{K}'\)-t, és így \(\displaystyle \mathcal{K}\)-t is. Az indukciós lépéshez tehát valóban elegendő az iménti állítást belátni.

Ehhez tekintsük \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak két közös csúccsal nem rendelkező \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalát úgy, hogy ha \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak van két párhuzamos oldala, akkor \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egy ilyen párhuzamos oldalpár legyen. Mivel \(\displaystyle \mathcal{K}\) külső szögeinek összege \(\displaystyle 360^\circ\), az \(\displaystyle A,B,C,D\) csúcsoknál lévő külső szögek összege sem lehet ennél nagyobb. Az nem lehet, hogy az \(\displaystyle A,B\) csúcsoknál és a \(\displaystyle C,D\) csúcsoknál lévő külső szögek összege egyaránt \(\displaystyle 180^\circ\), hiszen akkor \(\displaystyle \mathcal{K}\) olyan négyszög lenne, amelyben a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AD\) oldalak párhuzamosak, vagyis \(\displaystyle \mathcal{K}\) paralelogramma lenne. Feltehető tehát, hogy az \(\displaystyle A,B\) csúcsoknál lévő külső szögek összege kisebb, mint \(\displaystyle 180^\circ\). Ekkor az \(\displaystyle AB\) oldalegyenest elhagyva, a fennmaradó \(\displaystyle n-1\) oldalegyenes egy olyan \(\displaystyle \mathcal{K}'\) konvex sokszöget határoz meg, amely tartalmazza \(\displaystyle \mathcal{K}\)-t. Ez a \(\displaystyle \mathcal{K}'\) sokszög pedig nem lehet paralelogramma, hiszen nincsen olyan oldala, amely a \(\displaystyle CD\) oldalegyenesével párhuzamos lenne. Ezzel az indukciós lépéshez szükséges állításunkat igazoltuk.


Statistics:

61 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Cséke Balázs, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Lajos Mátyás, Medek Ákos, Mészáros András, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 points:Beke Lilla, Bogár Blanka, Hegedűs Csaba, Keceli-Mészáros Emese, Kiss 232 Dóra, Kovács 235 Gábor, Nguyen Milán, Sieben Bertilla, Uray Marcell János.
2 points:6 students.
1 point:17 students.
0 point:10 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley