KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4246. (February 2010)

B. 4246. Given that the roots x1, x2, x3 of the equation x3-(a+2)x2+(2a+1)x-a=0 satisfy \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = \frac{3}{x_3}, solve the equation.

(Mathematics Competition for Teacher Training Colleges 1975/2)

(4 pont)

Deadline expired on 10 March 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk fel a gyökök és együtthatók közötti

összefüggéseket: (i) \(\displaystyle x_1+x_2+x_3=a+2\), (ii) \(\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2a+1\), (iii) \(\displaystyle x_1x_2x_3=a\). Mivel egyik gyök sem 0, azért \(\displaystyle a\ne 0\), és így a feltétel szerint

\(\displaystyle \frac{5}{x_3}=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}+\frac{2}{x_3}= 2\cdot\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{4a+2}{a},\)

ahonnan kapjuk, hogy \(\displaystyle 4a+2\ne 0\) és

\(\displaystyle x_3=\frac{5a}{4a+2}.\)

Innen (iii), illetve (i) alapján

\(\displaystyle x_1x_2=\frac{a}{x_3}=\frac{4a+2}{5}\qquad \hbox{és}\qquad x_1+x_2=a+2-x_3=\frac{4a^2+5a+4}{4a+2}\)

adódik. Ezeket (ii)-be beírva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{4a+2}{5}+\frac{4a^2+5a+4}{4a+2}\cdot\frac{5a}{4a+2}=2a+1,\)

ahonnan \(\displaystyle 4a^3-19a^2+28a-12=0\). Ha észrevesszük, hogy ennek az egyenletnek egyik gyöke \(\displaystyle a=2\), akkor a baloldal már szorzattá alakítható:

\(\displaystyle 4a^3-19a^2+28a-12=(a-2)(4a^2-11a+6)=(a-2)(a-2)(4a-3),\)

vagyis \(\displaystyle a\) értéke csak 2 vagy 3/4 lehet, a megfelelő \(\displaystyle x_3\) érték pedig \(\displaystyle x_3=1\), illetve \(\displaystyle x_3=3/4\). Az első esetben az egyenlet

\(\displaystyle 0=x^3-4x^2+5x-2=(x-1)(x^2-3x+2)=(x-1)(x-1)(x-2)\)

alakú, ahonnan \(\displaystyle \{x_1,x_2\}=\{1,2\}\). A második esetben az egyenlet

\(\displaystyle 0=x^3-\frac{11}{4}\cdot x^2+\frac{5}{2}\cdot x-\frac{3}{4}= \left(x-\frac{3}{4}\right)(x^2-2x+1)=\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-1)^2,\)

ahonnan \(\displaystyle x_1=x_2=1\). A feladat feltétele mind a két esetben teljesül.

Megjegyzés. Lényegesen kevesebb számolással célba érünk, ha észrevesszük, hogy az egyenlet gyökei \(\displaystyle \{x_1,x_2,x_3\}=\{1,1,a\}\).


Statistics:

95 students sent a solution.
4 points:73 students.
3 points:9 students.
2 points:1 student.
1 point:9 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley