KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4247. Two faces of a cube are ABCD and ABEF. Let M and N denote points on the face diagonals AC and FB, respectively, such that AM=FN. What is the locus of the midpoint of the line segment MN?

(3 points)

Deadline expired on 10 March 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A tér egy tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjának helyvektorát jelölje \(\displaystyle p\). Ekkor az \(\displaystyle AF\) él \(\displaystyle X\) és a \(\displaystyle BC\) él \(\displaystyle Y\) felezőpontjának helyvektora

\(\displaystyle x=\frac{a+f}{2},\qquad \hbox{illetve}\qquad y=\frac{b+c}{2}.\)

Minthogy \(\displaystyle AC=BF\), ha valamely \(\displaystyle 0\le \lambda \le 1\) esetén \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AC\) lapátlót \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztó pont, akkor az \(\displaystyle N\) pont az \(\displaystyle FB\) lapátlót szintén \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztja, és viszont. Ekkor az \(\displaystyle MN\) szakasz \(\displaystyle Z\) felezőpontjára

\(\displaystyle z=\frac{m+n}{2}=\frac{((1-\lambda)a+\lambda c)+((1-\lambda)f+\lambda b)}{2}=(1-\lambda)\cdot\frac{a+f}{2}+\lambda\cdot\frac{b+c}{2},\)

vagyis \(\displaystyle z=(1-\lambda)x+\lambda y\), tehát ekkor \(\displaystyle Z\) is \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztja az \(\displaystyle XY\) szakaszt. Ezért a keresett mértani hely éppen az \(\displaystyle XY\) szakasz.


Statistics on problem B. 4247.
76 students sent a solution.
3 points:51 students.
2 points:8 students.
1 point:7 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley