Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4247. (February 2010)

B. 4247. Two faces of a cube are ABCD and ABEF. Let M and N denote points on the face diagonals AC and FB, respectively, such that AM=FN. What is the locus of the midpoint of the line segment MN?

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A tér egy tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjának helyvektorát jelölje \(\displaystyle p\). Ekkor az \(\displaystyle AF\) él \(\displaystyle X\) és a \(\displaystyle BC\) él \(\displaystyle Y\) felezőpontjának helyvektora

\(\displaystyle x=\frac{a+f}{2},\qquad \hbox{illetve}\qquad y=\frac{b+c}{2}.\)

Minthogy \(\displaystyle AC=BF\), ha valamely \(\displaystyle 0\le \lambda \le 1\) esetén \(\displaystyle M\) az \(\displaystyle AC\) lapátlót \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztó pont, akkor az \(\displaystyle N\) pont az \(\displaystyle FB\) lapátlót szintén \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztja, és viszont. Ekkor az \(\displaystyle MN\) szakasz \(\displaystyle Z\) felezőpontjára

\(\displaystyle z=\frac{m+n}{2}=\frac{((1-\lambda)a+\lambda c)+((1-\lambda)f+\lambda b)}{2}=(1-\lambda)\cdot\frac{a+f}{2}+\lambda\cdot\frac{b+c}{2},\)

vagyis \(\displaystyle z=(1-\lambda)x+\lambda y\), tehát ekkor \(\displaystyle Z\) is \(\displaystyle \lambda:(1-\lambda)\) arányban osztja az \(\displaystyle XY\) szakaszt. Ezért a keresett mértani hely éppen az \(\displaystyle XY\) szakasz.


Statistics:

76 students sent a solution.
3 points:51 students.
2 points:8 students.
1 point:7 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010