Problem B. 4248.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4248. Denote the centres of the escribed circles of a triangle ABC by O_a, O_b, O_c, the centre of the incircle by I, and the radius of the circumscribed circle by R. Let A₁ be the intersection of the perpendiculars dropped from point O_b onto line AB and from point O_c onto line AC. Show that A₁I=2R.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

A háromszög szögeit jelölje a szokásos módon $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Az O_b pontnak az AC oldalra, illetve az AB oldalegyenesre való merőleges vetületét jelölje E és F. Mivel az AO_b egyenes felezi a 180^o- $\alpha$ nagyságú EAF szöget, az AEO_b és AFO_b derékszögű háromszögekben $EAO_b\sphericalangle=FAO_b\sphericalangle=90^\circ-\alpha/2$ és $EO_bA\sphericalangle=FO_bA\sphericalangle=A_1O_bO_c\sphericalangle=\alpha/2$ . Ugyanígy az A₁O_cO_b szög nagysága is $\alpha$ /2, vagyis A₁O_bO_c olyan egyenlőszárú háromszög, melynek A₁-nél lévő csúcsszöge $O_bA_1O_c\sphericalangle=180^\circ-\alpha$ .

[] Mivel $CAI\sphericalangle=CAO_a\sphericalangle=\alpha/2$ , látható, hogy az O_bAO_a, és ugyanilyen alapon az O_cAO_a szög is derékszög, vagyis az AIO_a egyenes merőleges az O_bAO_c egyenesre. Ezek szerint az O_aO_bO_c háromszögnek az eredeti ABC háromszög a talpponti háromszöge, vagyis az ABC háromszög köré írt kör az O_aO_bO_c háromszög Feuerbach-köre. Ezért az O_aO_bO_c háromszög köré írható kör sugara 2R. Ennek a K körnek a középpontját jelölje O'.

[] Az EO_bA szöghöz hasonlóan kiszámolható, hogy $EO_bC\sphericalangle=\gamma/2$ , vagyis $O_cO_bO_a\sphericalangle=AO_bC\sphericalangle=(\alpha+\gamma)/2$ , és ugyanígy $O_bO_cO_a\sphericalangle=(\alpha+\beta)/2$ , $O_bO_aO_c\sphericalangle=(\beta+\gamma)/2=90^\circ-\alpha/2$ . Ezért a K körben az O_bO_c húrhoz tartozó középponti szög $O_bO'O_c\sphericalangle=180^\circ-\alpha$ . Látható tehát, hogy az A₁O_bO_c és az O'O_bO_c egyenlőszárú háromszögek egybevágók, vagyis A₁O_b=A₁O_c=O'O_b=O'O_c=2R. Mivel

$O_bIO_c\sphericalangle=180^\circ-O_cO_bI\sphericalangle- O_bO_cI\sphericalangle=180^\circ-\frac{\gamma}{2}-\frac{\beta}{2}= 90^\circ+\frac{\alpha}{2}$

és $O_bA_1O_c\sphericalangle=180^\circ-\alpha=360^\circ-2\cdot O_bIO_c\sphericalangle$ , világos, hogy az I pont az A₁ középpontú, O_b-n és O_c-n áthaladó körvonalra illeszkedik. Ezért valóban A₁I=A₁O_b=2R.

Statistics on problem B. 4248.

22 students sent a solution.

5 points: Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Éles András, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Korondi Zénó, Márkus Bence, Máthé László, Medek Ákos, Mester Márton, Mészáros András, Milánkovich Dorottya, Nagy Róbert, Popper Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Uray Marcell János, Weisz Ágoston.

4 points: Bálint Csaba.

3 points: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010

Our web pages are supported by:

ELTE