KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4248. Denote the centres of the escribed circles of a triangle ABC by Oa, Ob, Oc, the centre of the incircle by I, and the radius of the circumscribed circle by R. Let A1 be the intersection of the perpendiculars dropped from point Ob onto line AB and from point Oc onto line AC. Show that A1I=2R.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

A háromszög szögeit jelölje a szokásos módon \alpha,\beta,\gamma. Az Ob pontnak az AC oldalra, illetve az AB oldalegyenesre való merőleges vetületét jelölje E és F. Mivel az AOb egyenes felezi a 180o-\alpha nagyságú EAF szöget, az AEOb és AFOb derékszögű háromszögekben EAO_b\sphericalangle=FAO_b\sphericalangle=90^\circ-\alpha/2 és EO_bA\sphericalangle=FO_bA\sphericalangle=A_1O_bO_c\sphericalangle=\alpha/2. Ugyanígy az A1OcOb szög nagysága is \alpha/2, vagyis A1ObOc olyan egyenlőszárú háromszög, melynek A1-nél lévő csúcsszöge O_bA_1O_c\sphericalangle=180^\circ-\alpha.

[] Mivel CAI\sphericalangle=CAO_a\sphericalangle=\alpha/2, látható, hogy az ObAOa, és ugyanilyen alapon az OcAOa szög is derékszög, vagyis az AIOa egyenes merőleges az ObAOc egyenesre. Ezek szerint az OaObOc háromszögnek az eredeti ABC háromszög a talpponti háromszöge, vagyis az ABC háromszög köré írt kör az OaObOc háromszög Feuerbach-köre. Ezért az OaObOc háromszög köré írható kör sugara 2R. Ennek a K körnek a középpontját jelölje O'.

[] Az EObA szöghöz hasonlóan kiszámolható, hogy EO_bC\sphericalangle=\gamma/2, vagyis O_cO_bO_a\sphericalangle=AO_bC\sphericalangle=(\alpha+\gamma)/2, és ugyanígy O_bO_cO_a\sphericalangle=(\alpha+\beta)/2, O_bO_aO_c\sphericalangle=(\beta+\gamma)/2=90^\circ-\alpha/2. Ezért a K körben az ObOc húrhoz tartozó középponti szög O_bO'O_c\sphericalangle=180^\circ-\alpha. Látható tehát, hogy az A1ObOc és az O'ObOc egyenlőszárú háromszögek egybevágók, vagyis A1Ob=A1Oc=O'Ob=O'Oc=2R. Mivel

O_bIO_c\sphericalangle=180^\circ-O_cO_bI\sphericalangle-
O_bO_cI\sphericalangle=180^\circ-\frac{\gamma}{2}-\frac{\beta}{2}=
90^\circ+\frac{\alpha}{2}

és O_bA_1O_c\sphericalangle=180^\circ-\alpha=360^\circ-2\cdot
O_bIO_c\sphericalangle, világos, hogy az I pont az A1 középpontú, Ob-n és Oc-n áthaladó körvonalra illeszkedik. Ezért valóban A1I=A1Ob=2R.


Statistics on problem B. 4248.
22 students sent a solution.
5 points:Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Éles András, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Korondi Zénó, Márkus Bence, Máthé László, Medek Ákos, Mester Márton, Mészáros András, Milánkovich Dorottya, Nagy Róbert, Popper Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Uray Marcell János, Weisz Ágoston.
4 points:Bálint Csaba.
3 points:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program