KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4252. (March 2010)

B. 4252. For what integers n>2 is it true that every convex polygon of n vertices has a side such that neither of the two angles lying on the side is acute?

(3 pont)

Deadline expired on 12 April 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy konvex sokszög külső szögeinek összege éppen \(\displaystyle 360^\circ\), ezek közül tehát legfeljebb 3 darab lehet tompaszög. Ezért \(\displaystyle n\ge 7\) esetén kell legyen két szomszédos csúcs, melyek egyikénél lévő külső szög sem tompaszög, vagyis található olyan oldal, amelyen lévő két szög egyike sem hegyesszög. Ha tehát \(\displaystyle n\ge 7\), akkor igaz az állítás.

Ha \(\displaystyle n=6\), akkor nem igaz az állítás, ugyanis az ábrán látható konvex hatszög minden második szöge hegyesszög. Ez a hatszög úgy jött létre, hogy egy szabályos háromszög sarkait levágtuk egy-egy olyan szakasszal, amely egy oldalfelező pontot köt össze a levágott csúcshoz illeszkedő másik oldalnak a csúcshoz legközelebbi ötödölőpontjával. (Itt csak arra kellett vigyáznunk, hogy a negyedelőpontnál közelebbi pontot válasszunk, mivel a negyedelőpont esetében kaptunk volna éppen derékszöget.) Ha a levágott sarkokat egyenként visszahelyezzük, akkor meggyőződhetünk arról is, hogy az állítás \(\displaystyle n=5\), \(\displaystyle n=4\) és \(\displaystyle n=3\) esetén sem igaz. Ezzel minden esetet megvizsgáltunk.


Statistics:

91 students sent a solution.
3 points:Ágoston Péter, Bálint Csaba, Barczel Nikolett, Bogár Blanka, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Gyarmati Máté, Halász 423 Dániel, Havasi 0 Márton, Hosszejni Darjus, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Karl Erik Holter, Keresztfalvi Tibor, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Korondi Zénó, Lajos Mátyás, Máthé László, Medek Ákos, Mihálka Éva Zsuzsanna, Mihálykó András, Nagy Róbert, Nguyen Noémi, Ódor Gergely, Repka 666 Dániel, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Szabó 928 Attila, Szórádi Márk, Uray Marcell János, Varga Vajk, Zahemszky Péter, Zelena Réka, Zsiros Ádám.
2 points:27 students.
1 point:14 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley