KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4253. A 6×6×6 cube is built out of blue and red building blocks, such that every 2×2×2 part consists of exactly 3 red cubes and 5 blue cubes. Prove that it is also true for the big cube that exactly 3 vertices are red and 5 are blue.

(4 points)

Deadline expired on 12 April 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Állítsuk a kockát az egyik lapjára, és tekintsünk ebben egy 24 kis kockából álló &tex;\displaystyle 2\times 2&xet;-es alapú hasábot. Ez egyrészt felbomlik 3 darab &tex;\displaystyle 2\times 2\times 2&xet;-es részre, tehát pontosan 9 piros és 15 kék kockából áll, másrészt pontosan 5 darab &tex;\displaystyle 2\times 2\times 2&xet;-es rész található benne. Vegyük ki most a kocka alsó lapjára illeszkedő &tex;\displaystyle 6\times 6&xet; kis kockát, és helyezzük a kocka tetejére, ugyanolyan elrendezésben. Tekintsük ugyanazt a &tex;\displaystyle 2\times 2&xet;-es alapú hasábot, ezzel annyi történt, hogy az alsó 4 kis kockát felülre helyeztük át. Ebben tehát továbbra is 9 piros és 15 kék kocka található. A benne foglalt 5 darab &tex;\displaystyle 2\times 2\times 2&xet;-es részből 4 darab már az eredeti kockában is benne volt, a legfelső ötödiket pedig ezek közül kettővel kiegészíthetjük a szóban forgó &tex;\displaystyle 2\times 2&xet;-es alapú hasábbá. Ezért ebben az ötödik &tex;\displaystyle 2\times 2\times 2&xet;-es részben is pontosan 3 piros és 5 kék kis kocka található. Mivel a nagy kocka minden egyes &tex;\displaystyle 2\times 2\times 2&xet;-es része belefoglalható egy ilyen hasábba, beláttuk, hogy az alsó lap felülre helyezésével nyert &tex;\displaystyle 6\times 6\times 6&xet; méretű kockára is igaz az, hogy benne minden egyes &tex;\displaystyle 2\times 2\times 2&xet;-es rész pontosan 3 piros és 5 kék kockából áll.

[] Ez a tulajdonság nyilván megmarad akkor is, ha az újonnan kapott nagy kocka elülső lapját hátulra helyezzük, majd az így létrejött kocka bal oldali lapját áttesszük a jobb oldalra. Mivel az így három lépésben létrehozott nagy kocka jobb oldali hátsó fölső &tex;\displaystyle 2\times 2\times 2&xet;-es része éppen az eredeti kocka 8 csúcsánál elhelyezkedő kis kockából tevődik össze, a feladat állítását ezzel be is láttuk.


Statistics on problem B. 4253.
39 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Beke Lilla, Bunth Gergely, Cséke Balázs, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Karl Erik Holter, Keresztfalvi Tibor, Kiss 232 Dóra, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy Róbert, Németh Bence, Perjési Gábor, Sieben Bertilla, Solti Bálint, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Varga Vajk, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zsakó András.
1 point:3 students.
0 point:5 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program