Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4254. (March 2010)

B. 4254. Is there a function defined on the points of the plane, which is not identically zero but the sum of its values at the vertices of every regular pentagon in the plane is zero?

(4 pont)

Deadline expired on April 12, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f\) egy olyan függvény a síkon, amelyre bármely szabályos ötszög csúcsain a fölvett értékek összege nulla. Legyen \(\displaystyle P\) a sík egy tetszőleges pontja. Tekintsünk egy \(\displaystyle PA_0B_0C_0D_0\) szabályos ötszöget, és ezt forgassuk el a \(\displaystyle P\) pont körül rendre 72, 144, 216 és 288 fokos szöggel ugyanabba az irányba. Az \(\displaystyle i\cdot72\) fokos szöggel való elforgatottat jelölje \(\displaystyle PA_iB_iC_iD_i\). Ekkor a feltétel szerint minden \(\displaystyle 0\le i\le 4\) esetén

\(\displaystyle f(P)+f(A_i)+f(B_i)+f(C_i)+f(D_i)=0.\)

Továbbá minden \(\displaystyle X\in \{ A,B,C,D\}\) esetén az \(\displaystyle X_0X_1X_2X_3X_4\) ötszög szabályos, vagyis

\(\displaystyle f(X_0)+f(X_1)+f(X_2)+f(X_3)+f(X_4)=0.\)

Az első öt egyenlet összegéből a másik négy egyenletet kivonva \(\displaystyle 5f(P)=0\), vagyis \(\displaystyle f(P)=0\) adódik. A feltételnek tehát csak az azonosan nulla függvény tesz eleget.


Statistics:

18 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Bunth Gergely, Csizmadia Luca, Éles András, Janzer Olivér, Karl Erik Holter, Keresztfalvi Tibor, Nagy 111 Miklós, Perjési Gábor, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Varga Vajk, Vuchetich Bálint.
3 points:Dudás 002 Zsolt, Mészáros András, Nagy Róbert.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010