Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4255. (March 2010)

B. 4255. Prove that if 2n+1 and 3n+1 are square numbers for some positive integer n then 5n+3 cannot be a prime number.

(4 pont)

Deadline expired on April 12, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle a<b\) pozitív egész számokkal \(\displaystyle 2n+1=a^2\) és \(\displaystyle 3n+1=b^2\). Ekkor \(\displaystyle n=b^2-a^2\) és \(\displaystyle 5n+2=a^2+b^2\). Ezek szerint \(\displaystyle a^2+b^2=5(b^2-a^2)+2\), vagyis \(\displaystyle 3a^2=2b^2+1\). Ennek megfelelően

\(\displaystyle 5n+3=a^2+b^2+1=4a^2-b^2=(2a+b)(2a-b).\)

Ha ez prímszám lenne, akkor \(\displaystyle 2a-b=1\), vagyis \(\displaystyle 3a^2=2b^2+1=2(2a-1)^2+1\) teljesülne, ahonnan \(\displaystyle 5a^2-8a+3=0\), vagyis \(\displaystyle a=1\) következne, hiszen a másodfokú egyenlet másik gyöke nem egész szám. Ekkor azonban \(\displaystyle n=0\) lenne, vagyis az adott feltételek mellett \(\displaystyle 5n+3\) valóban nem lehet prímszám.


85 students sent a solution.
4 points:53 students.
3 points:11 students.
2 points:11 students.
1 point:1 student.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010