Problem B. 4255. (March 2010)
B. 4255. Prove that if 2n+1 and 3n+1 are square numbers for some positive integer n then 5n+3 cannot be a prime number.
(4 pont)
Deadline expired on April 12, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle a<b\) pozitív egész számokkal \(\displaystyle 2n+1=a^2\) és \(\displaystyle 3n+1=b^2\). Ekkor \(\displaystyle n=b^2-a^2\) és \(\displaystyle 5n+2=a^2+b^2\). Ezek szerint \(\displaystyle a^2+b^2=5(b^2-a^2)+2\), vagyis \(\displaystyle 3a^2=2b^2+1\). Ennek megfelelően
\(\displaystyle 5n+3=a^2+b^2+1=4a^2-b^2=(2a+b)(2a-b).\)
Ha ez prímszám lenne, akkor \(\displaystyle 2a-b=1\), vagyis \(\displaystyle 3a^2=2b^2+1=2(2a-1)^2+1\) teljesülne, ahonnan \(\displaystyle 5a^2-8a+3=0\), vagyis \(\displaystyle a=1\) következne, hiszen a másodfokú egyenlet másik gyöke nem egész szám. Ekkor azonban \(\displaystyle n=0\) lenne, vagyis az adott feltételek mellett \(\displaystyle 5n+3\) valóban nem lehet prímszám.
Statistics:
85 students sent a solution. 4 points: 53 students. 3 points: 11 students. 2 points: 11 students. 1 point: 1 student. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010