KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4258. (March 2010)

B. 4258. Given the triangle ABC and the line e, determine the point P of e for which PA2+2PB2+3PC2 is a minimum.

(3 pont)

Deadline expired on 12 April 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle A,B,C\) pontokat az \(\displaystyle e\) egyenesre merőlegesen vetítve, a kapott pontokat jelölje rendre \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), \(\displaystyle C_1\). A Pithagorasz-tétel szerint

\(\displaystyle PA^2+2PB^2+3PC^2=(PA_1^2+2PB_1^2+3PC_1^2)+(AA_1^2+2BB_1^2+3CC_1^2).\)

Az \(\displaystyle e\) egyenest a számegyenessel azonosítva, az \(\displaystyle A_1,B_1,C_1\) pontok koordinátája legyen rendre \(\displaystyle a,b,c\), az ismeretlen \(\displaystyle P\) pont koordinátája pedig \(\displaystyle x\). A szóban forgó összeg nyilván akkor a legkisebb, amikor

\(\displaystyle PA_1^2+2PB_1^2+3PC_1^2=(x-a)^2+2(x-b)^2+3(x-c)^2\)

értéke a lehető legkisebb. A kifejezést:

\(\displaystyle 6\Bigl(x-\frac{a+2b+3c}{6}\Bigr)^2+(a^2+2b^2+3c^2)-\frac{(a+2b+3c)^2}{6}\)

alakra hozva látható, hogy ez éppen

\(\displaystyle x=\frac{a+2b+3c}{6}=\frac{\frac{a+c}{2}+b+c}{3}\)

esetén következik be, vagyis ha a \(\displaystyle P\) pont éppen az \(\displaystyle FBC\) háromszög súlypontjának az \(\displaystyle e\) egyenesre eső merőleges vetülete, ahol \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle AC\) szakasz felezőpontját jelöli.


Statistics:

44 students sent a solution.
3 points:Beke Lilla, Boér Lehel, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Csizmadia Luca, Dunay Luca, Éles András, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Hosszejni Darjus, Jenei Tamás, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kovács 235 Gábor, Nagy Róbert, Németh Bence, Orsós Ferenc, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szakács Enikő, Tekeli Tamás, Tóth 222 Barnabás, Trauttwein Klaudia, Uray Marcell János, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Zahemszky Péter, Zelena Réka, Zsakó András.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley