KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4259. A circle passes through vertices B and C of a triangle ABC. It intersects side AB at D and side AC at E. The median AF intersects DE at G. Prove that \frac{GD}{GE} =
\frac{AC^2}{AB^2}.

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel a &tex;\displaystyle BCED&xet; négyszög húrnégyszög, a szokásos jelölésekkel

&tex;\displaystyle AED\sphericalangle=180^\circ-CED\sphericalangle=CBD\sphericalangle=\beta,&xet;

és hasonlóképpen &tex;\displaystyle ADE\sphericalangle=\gamma&xet;, vagyis az &tex;\displaystyle AED&xet; háromszög hasonló az &tex;\displaystyle ABC&xet; háromszöghöz. Húzzunk az &tex;\displaystyle F&xet; ponton át párhuzamost a &tex;\displaystyle DE&xet; egyenessel, ennek az &tex;\displaystyle AB&xet;, illetve &tex;\displaystyle AC&xet; félegyenessel való metszéspontját jelölje &tex;\displaystyle D'&xet; és &tex;\displaystyle E'&xet;. Ekkor az &tex;\displaystyle AE'D'&xet; háromszög hasonló az &tex;\displaystyle AED&xet; háromszöghöz, és &tex;\displaystyle GD:GE=FD':FE'&xet;.

Ha az &tex;\displaystyle AB&xet; és &tex;\displaystyle AC&xet; oldalak felezőpontját &tex;\displaystyle D^*&xet;, illetve &tex;\displaystyle E^*&xet; jelöli, akkor &tex;\displaystyle FD^*=AC/2&xet;, &tex;\displaystyle FE^*=AB/2&xet;, vagyis az &tex;\displaystyle ABC&xet;, &tex;\displaystyle AED&xet;, &tex;\displaystyle AE'D'&xet;, &tex;\displaystyle E^*E'F&xet; és &tex;\displaystyle D^*FD'&xet; háromszögek hasonlósága alapján

&tex;\displaystyle \frac{GD}{GE}=\frac{FD'}{FE'}=\frac{FD'}{FD^*}\cdot\frac{FD^*}{FE^*}\cdot \frac{FE^*}{FE'}=\frac{BC}{AB}\cdot\frac{AC}{AB}\cdot\frac{CA}{CB}= \frac{AC^2}{AB^2}.&xet;


Statistics on problem B. 4259.
59 students sent a solution.
4 points:53 students.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program