KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4259. A circle passes through vertices B and C of a triangle ABC. It intersects side AB at D and side AC at E. The median AF intersects DE at G. Prove that \frac{GD}{GE} =
\frac{AC^2}{AB^2}.

(4 points)

Deadline expired on 12 April 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel a \(\displaystyle BCED\) négyszög húrnégyszög, a szokásos jelölésekkel

\(\displaystyle AED\sphericalangle=180^\circ-CED\sphericalangle=CBD\sphericalangle=\beta,\)

és hasonlóképpen \(\displaystyle ADE\sphericalangle=\gamma\), vagyis az \(\displaystyle AED\) háromszög hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Húzzunk az \(\displaystyle F\) ponton át párhuzamost a \(\displaystyle DE\) egyenessel, ennek az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AC\) félegyenessel való metszéspontját jelölje \(\displaystyle D'\) és \(\displaystyle E'\). Ekkor az \(\displaystyle AE'D'\) háromszög hasonló az \(\displaystyle AED\) háromszöghöz, és \(\displaystyle GD:GE=FD':FE'\).

Ha az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalak felezőpontját \(\displaystyle D^*\), illetve \(\displaystyle E^*\) jelöli, akkor \(\displaystyle FD^*=AC/2\), \(\displaystyle FE^*=AB/2\), vagyis az \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle AED\), \(\displaystyle AE'D'\), \(\displaystyle E^*E'F\) és \(\displaystyle D^*FD'\) háromszögek hasonlósága alapján

\(\displaystyle \frac{GD}{GE}=\frac{FD'}{FE'}=\frac{FD'}{FD^*}\cdot\frac{FD^*}{FE^*}\cdot \frac{FE^*}{FE'}=\frac{BC}{AB}\cdot\frac{AC}{AB}\cdot\frac{CA}{CB}= \frac{AC^2}{AB^2}.\)


Statistics on problem B. 4259.
59 students sent a solution.
4 points:53 students.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley