KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4260. Solve the simultaneous equations \cos x + \cos y + \cos z = \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sin x
+\sin y +\sin z =\frac{3}{2}.

(4 points)

Deadline expired on 12 April 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Emeljük négyzetre mindkét egyenletet, majd az így kapott két egyenletet adjuk össze. Figyelembe véve, hogy bármely \(\displaystyle \alpha,\beta\) esetén \(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) és \(\displaystyle \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha \sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\), innen a

\(\displaystyle \cos(x-y)+\cos(x-z)+\cos(y-z)=3\)

egyenletre jutunk, ami csak úgy teljesülhet, ha

\(\displaystyle \cos(x-y)=\cos(x-z)=\cos(y-z)=1,\)

vagyis ha \(\displaystyle x,y,z\) közül bármely kettő különbsége \(\displaystyle 2\pi\) egész számú többszöröse. Ekkor tehát

\(\displaystyle \cos x=\cos y=\cos z=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{és}\quad \sin x =\sin y =\sin z =\frac{1}{2},\)

vagyis alkalmas \(\displaystyle k, \ell, m\) egész számokkal

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad y=\frac{\pi}{6}+2\ell\pi,\quad z=\frac{\pi}{6}+2m\pi,\)

mely szögek nyilván ki is elégítik az egyenletrendszert.


Statistics on problem B. 4260.
77 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:14 students.
2 points:1 student.
1 point:6 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley