Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4260. (March 2010)

B. 4260. Solve the simultaneous equations \cos x + \cos y + \cos z = \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sin x
+\sin y +\sin z =\frac{3}{2}.

(4 pont)

Deadline expired on April 12, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Emeljük négyzetre mindkét egyenletet, majd az így kapott két egyenletet adjuk össze. Figyelembe véve, hogy bármely \(\displaystyle \alpha,\beta\) esetén \(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) és \(\displaystyle \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha \sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\), innen a

\(\displaystyle \cos(x-y)+\cos(x-z)+\cos(y-z)=3\)

egyenletre jutunk, ami csak úgy teljesülhet, ha

\(\displaystyle \cos(x-y)=\cos(x-z)=\cos(y-z)=1,\)

vagyis ha \(\displaystyle x,y,z\) közül bármely kettő különbsége \(\displaystyle 2\pi\) egész számú többszöröse. Ekkor tehát

\(\displaystyle \cos x=\cos y=\cos z=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{és}\quad \sin x =\sin y =\sin z =\frac{1}{2},\)

vagyis alkalmas \(\displaystyle k, \ell, m\) egész számokkal

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad y=\frac{\pi}{6}+2\ell\pi,\quad z=\frac{\pi}{6}+2m\pi,\)

mely szögek nyilván ki is elégítik az egyenletrendszert.


Statistics:

77 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:14 students.
2 points:1 student.
1 point:6 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010