KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4260. Solve the simultaneous equations \cos x + \cos y + \cos z = \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sin x
+\sin y +\sin z =\frac{3}{2}.

(4 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Emeljük négyzetre mindkét egyenletet, majd az így kapott két egyenletet adjuk össze. Figyelembe véve, hogy bármely \alpha,\beta esetén cos2\alpha+sin2\alpha=1 és cos \alphacos \beta+sin \alphasin \beta=cos (\alpha-\beta), innen a

cos (x-y)+cos (x-z)+cos (y-z)=3

egyenletre jutunk, ami csak úgy teljesülhet, ha

cos (x-y)=cos (x-z)=cos (y-z)=1,

vagyis ha x,y,z közül bármely kettő különbsége 2\pi egész számú többszöröse. Ekkor tehát

\cos x=\cos y=\cos z=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad 
\text{ \'es}\quad
\sin x =\sin y =\sin z  =\frac{1}{2},

vagyis alkalmas k,\ell,m egész számokkal

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad y=\frac{\pi}{6}+2\ell\pi,\quad z=\frac{\pi}{6}+2m\pi,

mely szögek nyilván ki is elégítik az egyenletrendszert.


Statistics on problem B. 4260.
77 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:14 students.
2 points:1 student.
1 point:6 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program