Problem B. 4260.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4260. Solve the simultaneous equations $\cos x + \cos y + \cos z = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ , $\sin x +\sin y +\sin z =\frac{3}{2}$ .

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Emeljük négyzetre mindkét egyenletet, majd az így kapott két egyenletet adjuk össze. Figyelembe véve, hogy bármely $\alpha$ , $\beta$ esetén cos² $\alpha$ +sin² $\alpha$ =1 és cos $\alpha$ cos $\beta$ +sin $\alpha$ sin $\beta$ =cos ( $\alpha$ - $\beta$ ), innen a

cos (x-y)+cos (x-z)+cos (y-z)=3

egyenletre jutunk, ami csak úgy teljesülhet, ha

cos (x-y)=cos (x-z)=cos (y-z)=1,

vagyis ha x,y,z közül bármely kettő különbsége 2 $\pi$ egész számú többszöröse. Ekkor tehát

$\cos x=\cos y=\cos z=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{ \'es}\quad \sin x =\sin y =\sin z =\frac{1}{2},$

vagyis alkalmas k, $\ell$ ,m egész számokkal

$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad y=\frac{\pi}{6}+2\ell\pi,\quad z=\frac{\pi}{6}+2m\pi,$

mely szögek nyilván ki is elégítik az egyenletrendszert.

Statistics on problem B. 4260.

77 students sent a solution.

4 points: 52 students.

3 points: 14 students.

2 points: 1 student.

1 point: 6 students.

0 point: 4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010

Our web pages are supported by:

ELTE