KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4260. (March 2010)

B. 4260. Solve the simultaneous equations \cos x + \cos y + \cos z = \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sin x
+\sin y +\sin z =\frac{3}{2}.

(4 pont)

Deadline expired on 12 April 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Emeljük négyzetre mindkét egyenletet, majd az így kapott két egyenletet adjuk össze. Figyelembe véve, hogy bármely \(\displaystyle \alpha,\beta\) esetén \(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) és \(\displaystyle \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha \sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\), innen a

\(\displaystyle \cos(x-y)+\cos(x-z)+\cos(y-z)=3\)

egyenletre jutunk, ami csak úgy teljesülhet, ha

\(\displaystyle \cos(x-y)=\cos(x-z)=\cos(y-z)=1,\)

vagyis ha \(\displaystyle x,y,z\) közül bármely kettő különbsége \(\displaystyle 2\pi\) egész számú többszöröse. Ekkor tehát

\(\displaystyle \cos x=\cos y=\cos z=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{és}\quad \sin x =\sin y =\sin z =\frac{1}{2},\)

vagyis alkalmas \(\displaystyle k, \ell, m\) egész számokkal

\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad y=\frac{\pi}{6}+2\ell\pi,\quad z=\frac{\pi}{6}+2m\pi,\)

mely szögek nyilván ki is elégítik az egyenletrendszert.


Statistics:

>
77 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:14 students.
2 points:1 student.
1 point:6 students.
0 point:4 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley