KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4260. Solve the simultaneous equations \cos x + \cos y + \cos z = \frac{3\sqrt{3}}{2}, \sin x
+\sin y +\sin z =\frac{3}{2}.

(4 points)

Deadline expired on 12 April 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Emeljük négyzetre mindkét egyenletet, majd az így kapott két egyenletet adjuk össze. Figyelembe véve, hogy bármely &tex;\displaystyle \alpha,\beta&xet; esetén &tex;\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1&xet; és &tex;\displaystyle \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha \sin\beta=\cos(\alpha-\beta)&xet;, innen a

&tex;\displaystyle \cos(x-y)+\cos(x-z)+\cos(y-z)=3&xet;

egyenletre jutunk, ami csak úgy teljesülhet, ha

&tex;\displaystyle \cos(x-y)=\cos(x-z)=\cos(y-z)=1,&xet;

vagyis ha &tex;\displaystyle x,y,z&xet; közül bármely kettő különbsége &tex;\displaystyle 2\pi&xet; egész számú többszöröse. Ekkor tehát

&tex;\displaystyle \cos x=\cos y=\cos z=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{és}\quad \sin x =\sin y =\sin z =\frac{1}{2},&xet;

vagyis alkalmas &tex;\displaystyle k, \ell, m&xet; egész számokkal

&tex;\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad y=\frac{\pi}{6}+2\ell\pi,\quad z=\frac{\pi}{6}+2m\pi,&xet;

mely szögek nyilván ki is elégítik az egyenletrendszert.


Statistics on problem B. 4260.
77 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:14 students.
2 points:1 student.
1 point:6 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE