KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4261. (March 2010)

B. 4261. A house has the shape of a cube. A roof is built on it that consists of two isosceles triangles and two symmetrical trapeziums. The edges of the roof are all equal, and the angles enclosed by adjacent faces are all equal. Find the ratio of the edge of the roof to the edge of the cube.

(5 pont)

Deadline expired on April 12, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ilyen háztetőt kapunk akkor, ha egy szabályos dodekaédernek egy élét kiválasztva, az él csúcsaival szomszédos további négy csúcs által meghatározott négyzet síkjával elmetsszük a dodekaédert. Megmutatjuk, hogy (az érdektelen lapostetőtől eltekintve) más lehetőség nincs is.

A háztető gerincét alkossa az \(\displaystyle AB\) szakasz, az \(\displaystyle A\) csúcsból induló másik két él végpontja legyen \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle D\). Ekkor a feltételek miatt a \(\displaystyle BCD\) háromszög szabályos. Nézzük a háztetőt alkotó két szimmetrikus trapéz egyikét, legyenek ennek csúcsai \(\displaystyle A,B,C\) és \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle ABEC\) trapézban tehát \(\displaystyle AB=BE=CA=x\) éppen a háztető éle, \(\displaystyle AE=EC=CB=e\) pedig megegyezik a kocka élével. A trapéz átlóinak behúzásával keletkező egyenlőszárú háromszögek alapján az ábrán jelölt szögek mind ugyanakkorák, továbbá \(\displaystyle EAC\sphericalangle=ACE\sphericalangle=2\alpha\). Ezért az \(\displaystyle ACM\) és \(\displaystyle CEA\) háromszögek hasonlók és \(\displaystyle EM=CM=CA=x\). Ennek alapján

\(\displaystyle x:e=AC:CE=MA:AC=(AE-ME):AC=(e-x):x,\)

vagyis

\(\displaystyle x^2=e(e-x),\quad x^2+ex-e^2=0,\quad x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot e.\)


Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Beke Lilla, Damásdi Gábor, Éles András, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Róbert, Németh Bence, Perjési Gábor, Tóth 222 Barnabás, Tóth Tekla, Uray Marcell János, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:Kiss 902 Melinda Flóra, Somogyi Ákos.
3 points:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley