KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4262. (April 2010)

B. 4262. Given the points P and Q, determine the locus of the intersection of the line e passing through P with the plane Se through Q that is perpendicular to e.

(3 pont)

Deadline expired on 10 May 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Könnyű látni, hogy a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontok a mértani helyhez tartoznak. Ha az \(\displaystyle e\) egyenes és az \(\displaystyle S_e\) sík \(\displaystyle M\) metszéspontja ezektől különbözik, akkor mivel a \(\displaystyle PMQ\) szög derékszög, a \(\displaystyle PQM\) derékszögű háromszög síkjában az \(\displaystyle M\) pont illeszkedik a \(\displaystyle PQ\) szakasz fölé emelt Thalesz-körre. A metszéspont tehát mindenképpen a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű gömbfelületen helyezkedik el. Megfordítva, ha \(\displaystyle M\) ennek a gömbfelületnek \(\displaystyle P\)-től és \(\displaystyle Q\)-tól is különböző pontja, akkor az \(\displaystyle e=PM\) egyenesre az \(\displaystyle M\) pontban merőlegesen állított sík tartalmazza az \(\displaystyle MQ\) egyenest, vagyis áthalad a \(\displaystyle Q\) ponton, tehát megegyezik \(\displaystyle S_e\)-vel. Ezek szerint a keresett mértani hely a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű gömbfelülettel egyezik meg. Megjegyezzük, hogy a bizonyítás a \(\displaystyle P=Q\) esetben is érvényes, ekkor a gömbfelület egy pontra húzódik össze.


Statistics:

70 students sent a solution.
3 points:64 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley