KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4264. Triangle ABC has a 120o angle at vertex C. The orthocentre of the triangle is M, the centre of the circumscribed circle is O, and the midpoint of arc ACB of the circle is F. Prove that MF=FO.

(3 points)

Deadline expired on 10 May 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A kerületi és középponti szögek tétele szerint az \(\displaystyle AOB\) szög nagysága is \(\displaystyle 120^{\circ}\), az \(\displaystyle AOBF\) deltoid tehát egy olyan rombusz, amelyben \(\displaystyle FA=FB=FO\). Ha az \(\displaystyle A\)-ból, illetve \(\displaystyle B\)-ből induló magasságvonalak talppontját \(\displaystyle M_a\) és \(\displaystyle M_b\) jelöli, akkor az \(\displaystyle MM_aCM_b\) négyszög húrnégyszög, vagyis

\(\displaystyle AMB\sphericalangle=M_aMM_b\sphericalangle=180^\circ-M_aCM_b\sphericalangle =180^\circ-ACB\sphericalangle=180^\circ-AOB\sphericalangle.\)

Ezért az \(\displaystyle AOBM\) négyszög is húrnégyszög, melynek körülírt körének középpontja éppen az \(\displaystyle F\) pont, így valóban \(\displaystyle MF=FO\).


Statistics on problem B. 4264.
74 students sent a solution.
3 points:54 students.
2 points:11 students.
1 point:5 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley