Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4265. (April 2010)

B. 4265. Find a colouring of positive integers with 7 colours such that the colours of the numbers {a,2a,3a,4a,5a,6a,7a} are pairwise different for every positive integer a.

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle a\) pozitív egész szám egyértelműen felírható \(\displaystyle a=2^x3^y5^z7^wb\) alakban, ahol \(\displaystyle x,y,z,w\) nemnegatív egész számok, a \(\displaystyle b\) pozitív szám pedig nem osztható a \(\displaystyle 2, 3, 5, 7\) prímek egyikével sem. Ezen felírás mellett az \(\displaystyle a\) szám színe legyen a \(\displaystyle 2x+3y+z+6w\) egész szám 7-tel való osztásakor keletkezett maradék. Ilyen módon minden egyes pozitív egész számot egyértelműen kiszíneztünk a \(\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6\) ``színek'' valamelyikével. Ez a színezés megfelelő, mert ha \(\displaystyle 2x+3y+z+6w=n\), akkor az \(\displaystyle a,2a,3a,4a,5a,6a,7a\) számokhoz rendelt színek rendre ugyanolyan maradékot adnak 7-tel osztva, mint az \(\displaystyle n, n+2, n+3, n+4, n+1, n+5, n+6\) számok, vagyis 7 különböző maradékot kapunk, ami a 7 különböző színnel történő színezésnek felel meg.


Statistics:

26 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bunth Gergely, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010