KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4265. Find a colouring of positive integers with 7 colours such that the colours of the numbers {a,2a,3a,4a,5a,6a,7a} are pairwise different for every positive integer a.

(4 points)

Deadline expired on 10 May 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tetszőleges \(\displaystyle a\) pozitív egész szám egyértelműen felírható \(\displaystyle a=2^x3^y5^z7^wb\) alakban, ahol \(\displaystyle x,y,z,w\) nemnegatív egész számok, a \(\displaystyle b\) pozitív szám pedig nem osztható a \(\displaystyle 2, 3, 5, 7\) prímek egyikével sem. Ezen felírás mellett az \(\displaystyle a\) szám színe legyen a \(\displaystyle 2x+3y+z+6w\) egész szám 7-tel való osztásakor keletkezett maradék. Ilyen módon minden egyes pozitív egész számot egyértelműen kiszíneztünk a \(\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6\) ``színek'' valamelyikével. Ez a színezés megfelelő, mert ha \(\displaystyle 2x+3y+z+6w=n\), akkor az \(\displaystyle a,2a,3a,4a,5a,6a,7a\) számokhoz rendelt színek rendre ugyanolyan maradékot adnak 7-tel osztva, mint az \(\displaystyle n, n+2, n+3, n+4, n+1, n+5, n+6\) számok, vagyis 7 különböző maradékot kapunk, ami a 7 különböző színnel történő színezésnek felel meg.


Statistics on problem B. 4265.
26 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bunth Gergely, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
0 point:10 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley