Problem B. 4266. (April 2010)
B. 4266. Let a1, a2, a3, a4 denote four consecutive elements in a row of Pascal's triangle. Prove that the numbers , , form an arithmetic progression.
(3 pont)
Deadline expired on May 10, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha (a számozást 0-tól kezdve) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorában vesszük az egymást követő \(\displaystyle a={n\choose k}\) és \(\displaystyle b={n\choose k+1}\) elemeket, akkor
\(\displaystyle \frac{a}{a+b}=\frac{{n\choose k}}{{n\choose k}+{n\choose k+1}}= \frac{{n\choose k}}{{n+1\choose k+1}}=\frac{k+1}{n+1}.\)
Ezért ha \(\displaystyle a_{1}\), \(\displaystyle a_{2}\), \(\displaystyle a_{3}\), \(\displaystyle a_{4}\) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorának egymást követő elemei, akkor a szóban forgó három tört egy olyan 3-tagú számtani sorozatot alkot, amelynek differenciája \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\).
Statistics:
86 students sent a solution. 3 points: 81 students. 2 points: 4 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010