KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4266. (April 2010)

B. 4266. Let a1, a2, a3, a4 denote four consecutive elements in a row of Pascal's triangle. Prove that the numbers \frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}, \frac{a_{2}}{a_{2}+a_{3}}, \frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}} form an arithmetic progression.

(3 pont)

Deadline expired on 10 May 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha (a számozást 0-tól kezdve) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorában vesszük az egymást követő \(\displaystyle a={n\choose k}\) és \(\displaystyle b={n\choose k+1}\) elemeket, akkor

\(\displaystyle \frac{a}{a+b}=\frac{{n\choose k}}{{n\choose k}+{n\choose k+1}}= \frac{{n\choose k}}{{n+1\choose k+1}}=\frac{k+1}{n+1}.\)

Ezért ha \(\displaystyle a_{1}\), \(\displaystyle a_{2}\), \(\displaystyle a_{3}\), \(\displaystyle a_{4}\) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorának egymást követő elemei, akkor a szóban forgó három tört egy olyan 3-tagú számtani sorozatot alkot, amelynek differenciája \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\).


Statistics:

86 students sent a solution.
3 points:81 students.
2 points:4 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley