Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4266. (April 2010)

B. 4266. Let a1, a2, a3, a4 denote four consecutive elements in a row of Pascal's triangle. Prove that the numbers \frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}, \frac{a_{2}}{a_{2}+a_{3}}, \frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}} form an arithmetic progression.

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha (a számozást 0-tól kezdve) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorában vesszük az egymást követő \(\displaystyle a={n\choose k}\) és \(\displaystyle b={n\choose k+1}\) elemeket, akkor

\(\displaystyle \frac{a}{a+b}=\frac{{n\choose k}}{{n\choose k}+{n\choose k+1}}= \frac{{n\choose k}}{{n+1\choose k+1}}=\frac{k+1}{n+1}.\)

Ezért ha \(\displaystyle a_{1}\), \(\displaystyle a_{2}\), \(\displaystyle a_{3}\), \(\displaystyle a_{4}\) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorának egymást követő elemei, akkor a szóban forgó három tört egy olyan 3-tagú számtani sorozatot alkot, amelynek differenciája \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\).


Statistics:

86 students sent a solution.
3 points:81 students.
2 points:4 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010