Problem B. 4267. (April 2010)

B. 4267. Prove that the perpendiculars drawn to the sides of a triangle at the points of tangency of the escribed circles are concurrent.

Suggested by G. Holló, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalán a \(\displaystyle BC\) oldalhoz hozzáírt kör érintési pontját jelölje \(\displaystyle D\), a beírt kör érintési pontját pedig \(\displaystyle E\). Ekkor a háromszög kerületének felét \(\displaystyle s\)-sel jelölve \(\displaystyle BD=CE=s-AB\), vagyis a \(\displaystyle D\) pontot úgy kapjuk, hogy az \(\displaystyle E\) pontot tükrözzük a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontjára. Tekintsük a \(\displaystyle BC\) oldalra rendre a \(\displaystyle D,E,F\) pontokban emelt, egymással párhuzamos \(\displaystyle d,e,f\) merőlegeseket. Megállapításunk szerint a \(\displaystyle d\) és \(\displaystyle e\) egyenesek az \(\displaystyle f\) egyenes különböző oldalán, attól azonos távolságra futnak. Mivel az \(\displaystyle f\) egyenes illeszkedik a körül írt kör \(\displaystyle O\) középpontjára, az \(\displaystyle e\) egyenest az \(\displaystyle O\) pontra tükrözve éppen a \(\displaystyle d\) egyenest kapjuk. Mivel pedig az \(\displaystyle e\) egyenes illeszkedik a beírt kör \(\displaystyle K\) középpontjára, a \(\displaystyle d\) egyenesnek is illeszkednie kell arra a \(\displaystyle K'\) pontra, amit úgy kapunk, hogy a \(\displaystyle K\) pontot tükrözzük \(\displaystyle O\)-ra.

Ugyanez elmondható a másik két oldalra a hozzáírt körök érintési pontjaiban állított merőlegesekre is, vagyis mindhárom merőleges áthalad a \(\displaystyle K'\) ponton.

Statistics:

59 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bogár Blanka, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Éles András, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Korondi Zénó, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Mihálka Éva Zsuzsanna, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Uray Marcell János, Varga Vajk, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zsakó András.
3 points:	Bálint Csaba, Bősze Zsuzsanna, Csörgő András, Dudás 002 Zsolt, Gyarmati Máté, Karkus Zsuzsa, Máthé László, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Zelena Réka.
2 points:	4 students.
1 point:	18 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010