KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4268. What is the sixth digit following the decimal point in the decimal form of \big(\sqrt{2010}+\big[\sqrt{2010}\,\big]\big)^{100}?

(4 points)

Deadline expired on 10 May 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a=\sqrt{2010}\), \(\displaystyle b=\big[\sqrt{2010}\,\big]\). Mivel \(\displaystyle 44^2<2010<44,85^2\), látható, hogy \(\displaystyle 44<a<44,85\), \(\displaystyle b=44\), és \(\displaystyle 0<a-b<0,85\). A binomiális tétel szerint

\(\displaystyle N=(a+b)^{100}+(a-b)^{100}=2\cdot\sum_{i=0}^{50}{100\choose 2i}a^{2i}b^{100-2i}\)

egész szám. Minthogy pedig \(\displaystyle 0<(a-b)^5<0,85^5<0,5\), kapjuk, hogy

\(\displaystyle 0<(a-b)^{100}<\frac{1}{2^{20}}<\frac{1}{1024^2}<10^{-6},\)

vagyis \(\displaystyle N>(a+b)^{100}> N-10^{-6}\). Ezért \(\displaystyle (a+b)^{100}\) tizedestört alakjában a tizedesvessző után hat darab kilences következik, a keresett számjegy 9.


Statistics on problem B. 4268.
33 students sent a solution.
4 points:Cséke Balázs, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Popper Dávid, Repka 666 Dániel, Somogyi Ákos, Virágh Eszter, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:Dudás 002 Zsolt, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Jernei Tamás, Sándor Áron Endre, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.
2 points:2 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley