Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4268. (April 2010)

B. 4268. What is the sixth digit following the decimal point in the decimal form of \big(\sqrt{2010}+\big[\sqrt{2010}\,\big]\big)^{100}?

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a=\sqrt{2010}\), \(\displaystyle b=\big[\sqrt{2010}\,\big]\). Mivel \(\displaystyle 44^2<2010<44,85^2\), látható, hogy \(\displaystyle 44<a<44,85\), \(\displaystyle b=44\), és \(\displaystyle 0<a-b<0,85\). A binomiális tétel szerint

\(\displaystyle N=(a+b)^{100}+(a-b)^{100}=2\cdot\sum_{i=0}^{50}{100\choose 2i}a^{2i}b^{100-2i}\)

egész szám. Minthogy pedig \(\displaystyle 0<(a-b)^5<0,85^5<0,5\), kapjuk, hogy

\(\displaystyle 0<(a-b)^{100}<\frac{1}{2^{20}}<\frac{1}{1024^2}<10^{-6},\)

vagyis \(\displaystyle N>(a+b)^{100}> N-10^{-6}\). Ezért \(\displaystyle (a+b)^{100}\) tizedestört alakjában a tizedesvessző után hat darab kilences következik, a keresett számjegy 9.


Statistics:

33 students sent a solution.
4 points:Cséke Balázs, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Popper Dávid, Repka 666 Dániel, Somogyi Ákos, Virágh Eszter, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zsakó András.
3 points:Dudás 002 Zsolt, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Jernei Tamás, Sándor Áron Endre, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.
2 points:2 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010