KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4270. (April 2010)

B. 4270. Let ABCDEF be a hexagon inscribed in a circle. Prove that AD.BE.CF=AB.DE.CF+BC.EF.AD+CD.FA.BE+AB.CD.EF+BC.DE.FA.

(5 pont)

Deadline expired on 10 May 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABDE\) húrnégyszögre a Ptolemaiosz-tételt felírva kapjuk, hogy

\(\displaystyle AD\cdot BE=AB\cdot DE+AE\cdot BD.\)

Az egyenlőség mindkét oldalát \(\displaystyle CF\)-fel megszorozva

\(\displaystyle AD\cdot BE\cdot CF = AB\cdot DE\cdot CF+AE\cdot BD\cdot CF\)

adódik, tehát elegendő az

\(\displaystyle AE\cdot BD\cdot CF=BC\cdot EF\cdot AD+ CD\cdot FA\cdot BE + AB\cdot CD\cdot EF+ BC\cdot DE\cdot FA\)

összefüggést igazolni. A \(\displaystyle BCDF\) húrnégyszögben hasonlóképpen

\(\displaystyle BD\cdot CF=BC\cdot DF+BF\cdot CD,\)

tehát

\(\displaystyle AE\cdot BD\cdot CF=AE\cdot BC\cdot DF+AE\cdot BF\cdot CD.\)

Itt viszont az \(\displaystyle ADEF\) és az \(\displaystyle ABEF\) húrnégyszögekből kiindulva

\(\displaystyle AE\cdot BC\cdot DF=BC\cdot(AD\cdot EF+DE\cdot FA),\)

illetve

\(\displaystyle AE\cdot BF\cdot CD=CD\cdot(AB\cdot EF+BE\cdot FA),\)

ahonnan az állítás már közvetlenül leolvasható.


Statistics:

35 students sent a solution.
5 points:Beke Lilla, Bogár Blanka, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Nánási József, Pálfi Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Remete László, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Zelena Réka.
4 points:Weisz Ágoston.
2 points:2 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley