B. 4270. Let ABCDEF be a hexagon inscribed in a circle. Prove that AD^.BE^.CF=AB^.DE^.CF+BC^.EF^.AD+CD^.FA^.BE+AB^.CD^.EF+BC^.DE^.FA.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Az ABDE húrnégyszögre a Ptolemaiosz-tételt felírva kapjuk, hogy

AD^.BE=AB^.DE+AE^.BD.

Az egyenlőség mindkét oldalát CF-fel megszorozva

AD^.BE^.CF=AB^.DE^.CF+AE^.BD^.CF

adódik, tehát elegendő az

AE^.BD^.CF=BC^.EF^.AD+CD^.FA^.BE+AB^.CD^.EF+BC^.DE^.FA

összefüggést igazolni. A BCDF húrnégyszögben hasonlóképpen

BD^.CF=BC^.DF+BF^.CD,

tehát

AE^.BD^.CF=AE^.BC^.DF+AE^.BF^.CD.

Itt viszont az ADEF és az ABEF húrnégyszögekből kiindulva

AE^.BC^.DF=BC^.(AD^.EF+DE^.FA),

illetve

AE^.BF^.CD=CD^.(AB^.EF+BE^.FA),

ahonnan az állítás már közvetlenül leolvasható.

Statistics on problem B. 4270. 35 students sent a solution. 5 points: Beke Lilla, Bogár Blanka, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Nánási József, Pálfi Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Remete László, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Zelena Réka. 4 points: Weisz Ágoston. 2 points: 2 students. 0 point: 1 student.