KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4270. Let ABCDEF be a hexagon inscribed in a circle. Prove that AD.BE.CF=AB.DE.CF+BC.EF.AD+CD.FA.BE+AB.CD.EF+BC.DE.FA.

(5 points)

Deadline expired on 10 May 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az &tex;\displaystyle ABDE&xet; húrnégyszögre a Ptolemaiosz-tételt felírva kapjuk, hogy

&tex;\displaystyle AD\cdot BE=AB\cdot DE+AE\cdot BD.&xet;

Az egyenlőség mindkét oldalát &tex;\displaystyle CF&xet;-fel megszorozva

&tex;\displaystyle AD\cdot BE\cdot CF = AB\cdot DE\cdot CF+AE\cdot BD\cdot CF&xet;

adódik, tehát elegendő az

&tex;\displaystyle AE\cdot BD\cdot CF=BC\cdot EF\cdot AD+ CD\cdot FA\cdot BE + AB\cdot CD\cdot EF+ BC\cdot DE\cdot FA&xet;

összefüggést igazolni. A &tex;\displaystyle BCDF&xet; húrnégyszögben hasonlóképpen

&tex;\displaystyle BD\cdot CF=BC\cdot DF+BF\cdot CD,&xet;

tehát

&tex;\displaystyle AE\cdot BD\cdot CF=AE\cdot BC\cdot DF+AE\cdot BF\cdot CD.&xet;

Itt viszont az &tex;\displaystyle ADEF&xet; és az &tex;\displaystyle ABEF&xet; húrnégyszögekből kiindulva

&tex;\displaystyle AE\cdot BC\cdot DF=BC\cdot(AD\cdot EF+DE\cdot FA),&xet;

illetve

&tex;\displaystyle AE\cdot BF\cdot CD=CD\cdot(AB\cdot EF+BE\cdot FA),&xet;

ahonnan az állítás már közvetlenül leolvasható.


Statistics on problem B. 4270.
35 students sent a solution.
5 points:Beke Lilla, Bogár Blanka, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Nánási József, Pálfi Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Remete László, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Zelena Réka.
4 points:Weisz Ágoston.
2 points:2 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program