KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4270. Let ABCDEF be a hexagon inscribed in a circle. Prove that AD.BE.CF=AB.DE.CF+BC.EF.AD+CD.FA.BE+AB.CD.EF+BC.DE.FA.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Az ABDE húrnégyszögre a Ptolemaiosz-tételt felírva kapjuk, hogy

AD.BE=AB.DE+AE.BD.

Az egyenlőség mindkét oldalát CF-fel megszorozva

AD.BE.CF=AB.DE.CF+AE.BD.CF

adódik, tehát elegendő az

AE.BD.CF=BC.EF.AD+CD.FA.BE+AB.CD.EF+BC.DE.FA

összefüggést igazolni. A BCDF húrnégyszögben hasonlóképpen

BD.CF=BC.DF+BF.CD,

tehát

AE.BD.CF=AE.BC.DF+AE.BF.CD.

Itt viszont az ADEF és az ABEF húrnégyszögekből kiindulva

AE.BC.DF=BC.(AD.EF+DE.FA),

illetve

AE.BF.CD=CD.(AB.EF+BE.FA),

ahonnan az állítás már közvetlenül leolvasható.


Statistics on problem B. 4270.
35 students sent a solution.
5 points:Beke Lilla, Bogár Blanka, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Karkus Zsuzsa, Keresztfalvi Tibor, Kovács 444 Áron, Márkus Bence, Máthé László, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Nánási József, Pálfi Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Remete László, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Zelena Réka.
4 points:Weisz Ágoston.
2 points:2 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program